📝

Lektion 3: Geometri - fortsättning

📝Lektion 4: Delbarhet

📝Lektion 2: Primtal och primtalsfaktorisering


Lektionsöversikt


Ordlista


Geometri är ett område som många i Sverige oftast vill hålla sig så långt ifrån som möjligt. Men det behöver inte vara så. I själva verket är geometri ett väldigt trevligt ämne och den största förtjusningen med det är att man med rätt så lite kan komma väldigt långt och till och med lösa problem på väldigt hög nivå. I det här första avsnittet om vinklar ska vi ge den första grundstenen som behövs för att kunna lyckas med detta!

3.1 Grunderna i geometri

I grunden kan man sammanfatta området som en mängd vinklar och sträckor som tillsammans kan kombineras ihop till olika geometriska figurer. En triangel är ett exempel på en geometrisk figur bestående av tre vinklar och tre sträckor (sidor) och motsvarande är en kvadrat en geometrisk figur bestående av fyra vinklar och fyra sidor. Vinklarna och sidorna kan dock inte väljas hur som, som ni kanske känner igen måste till exempel vinkelsumman i en triangel vara 180180^{\circ} och i en kvadrat måste varje vinkel vara 9090^{\circ} samt alla sidor vara lika långa.

Låt oss börja med vad en vinkel egentligen är. En vinkel är det som bildas mellan två stycken linjer och brukar betecknas med en vinkelbåge som i figuren nedan. Enheten som det mäts i är grader och betecknas med ett gradtecken ()(^{\circ}). Punkten som vinkeln utgår från kallas för en vinkelspets och de två linjer som möts i spetsen kallas för vinkelben.

Ett helt varv (dvs en cirkel) motsvarar 360360^{\circ} och ett halvt varv (dvs en rak linje) motsvarar 180180^{\circ}. Vanligtvis betecknas vinklar med en båge som i bilden ovan, ett undantag är om de är räta, dvs 9090^{\circ}. Detta är den vinkel som förekommer i rektanglar och kvadrater och brukar betecknas med en kvadrat såsom i bilden nedan.

Utöver räta vinklar brukar man även särskilja på spetsiga och trubbiga vinklar. Alla tre är mindre än 180180^{\circ}, det som skiljer dem är att spetsiga vinklar (som nere till vänster) är mindre än 9090^{\circ} och trubbiga vinklar är större än 9090^{\circ}. I en triangel kan max en vinkel vara trubbig, kan du komma på varför?

Vi kan använda en gradskiva för att mäta vinklar och rita upp dem. När det kommer till problemlösning är det dock oftast inte så viktigt att vinkeln är uppritad exakt utan snarare att det är en rimlig bild. En vinkel som du vet är 3030^{\circ} stor ska till exempel inte ritas som om den vore 9090^{\circ}.

I själva verket ger en korsning av två stycken linjer upphov till två olika vinklar; en mindre än 180180^{\circ} (här betecknad vv) och en större än 180180^{\circ} (här betecknad 360v360^{\circ} - v). Om inget annat anges antas vinkeln mellan de två linjerna vid beräkningar vara den mindre av de två (vv).

Ett vanligt sätt att beteckna vinklar är genom användandet av tre punkter: startpunkten, vinkelspetsen och ändpunkten. I bilden nedan kan man till exempel skriva ABC=v\angle ABC = v. Även ordningen CBA\angle CBA betecknar samma vinkel. Det är viktigt att man har vinkelspetsen i mitten, BCA\angle BCA betecknar till exempel inte denna vinkeln utan det betecknar vinkeln mellan sträckorna BCBC och ACAC.

3.2 Vinklar

För att kunna lösa problem med vinklar har vi först behov av vissa definitioner. I figuren nedan visas fyra olika vinklar: uu, vv, ww och xx och tre linjer: 1\ell_1, 2\ell_2 och 3\ell_3.

För dessa gäller det att:


Övning 1 Visa att vertikalvinklarna uu och ww är lika stora.


Övning 2 Visa att om linjerna 1\ell_1 och 2\ell_2 är parallella är alternatvinklarna ww och xx lika stora (w=xw = x) samt det omvända, dvs om w=xw = x måste linjerna 1\ell_1 och 2\ell_2 vara parallella.


3.3 Vinkelsummor

Ni vet säkert redan att vinkelsumman för en triangel är 180180^{\circ}, men vad ni förmodligen inte fått se tidigare är varför detta stämmer.

I bilden ovanför har vi en triangel formad av linjerna 2\ell_2, 3\ell_3 och 4\ell_4 med vinklarna aa, bb och cc. Vinklarna uu, vv och ww är de vinklar som formas när linjerna 3\ell_3 och 4\ell_4 skär linjen 1\ell_1 som är parallell med 2\ell_2. Från definitionerna ovan kan vi se att uu och cc är likbelägna vinklar och likaså aa och ww. Vinklarna vv och bb är vertikalvinklar. Vertikalvinklar är alltid lika stora, därmed måste b=vb = v. När linjerna som skärs (1\ell_1 och 2\ell_2) är parallella är även likbelägna vinklar lika stora, alltså är a=wa = w och c=uc = u. Vinkelsumman i triangeln är alltså densamma som summan av vinklarna uwu-w:

a+b+c=u+v+wa + b + c = u + v + w

Då vi vet att vinklarna uu, vv, ww tillsammans motsvarar vinkeln över en rak linje (1\ell_1), dvs. 180180^{\circ}, måste även vinkelsumman i en triangel vara 180180^{\circ}!


Övning 3

Visa att x=u+vx = u + v.


Nu vet vi varför vinkelsumman av en triangel är 180180^{\circ}, men varför är vinkelsumman av en fyrhörning 360360^{\circ}? Ta fyrhörningen ABCDABCD nedanför som exempel.

Det lättaste beviset är att dra en linje mellan två motstående hörn. Då bildas två stycken trianglar (ABD\triangle ABD och BCD\triangle BCD). Vinklarna bb och dd delas upp i uu och bub-u respektive vv och dvd-v. Varje triangel har vinkelsumman 180180^{\circ}, och då alla ingående vinklar i de två trianglarna utgör fyrhörningens vinkelsumma måste därmed fyrhörningens vinkelsumma vara: 2180=3602 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}. Detta är egentligen tillräckligt av ett resonemang, men om man vill vara väldigt strikt kan man även strukturera upp det:

a+b+c+d=a+u+(bu)+c+v+(dv)=(a+u+v)+((bu)+(dv)+c)=180+180=360a + b + c + d = \\ a + u + (b-u) + c + v + (d-v) = \\ (a + u + v) + ((b-u) + (d-v) + c) = \\ 180^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}

Övning 4

Hur stora är vinklarna i en regelbunden:

a) 55-hörning?

b) 66-hörning?

c) nn-hörning?


3.4 Trianglar

Precis som att man kan beteckna en vinkel med hjälp av en ett tecken, \angle, och tre punkter kan man liknande beteckna en triangel på samma sätt. Tecknet som används då är en liten triangel \triangle, som följs av de tre punkterna som utgör hörnen i triangeln. Triangeln nedan kan till exempel skrivas som ABC\triangle ABC, men även BAC\triangle BAC eller CAB\triangle CAB. Till skillnad från vid beskrivningen av vinkeln där man måste ha vinkelspetsen i mitten, finns det här inget krav på ordningen.

Sträckor mellan två punkter brukar beskrivas med raka streck | runt ändpunkterna på sträckan. I triangeln ovanför kan till exempel de tre sidorna skrivas som AB|AB|, BC|BC| och CA|CA|. Även här saknar ordningen relevans och sidorna ovan kan lika gärna skrivas som BA|BA|, CB|CB| och AC|AC| respektive.

Två typer av trianglar man brukar vilja särskilja från de övriga är de som kallas likbenta och liksidiga trianglar. Att en triangel är likbent betyder att två av triangelns sidor är lika långa. Är en triangel liksidig innebär det alla tre sidor är lika långa. Om en triangel är likbent innebär det också att två av dess vinklar är lika stora. På samma är alla tre vinklar lika stora om triangeln är liksidig. Vi kommer bevisa varför vinklarna är lika stora i likbenta och liksidiga trianglar i en senare lektion. För tillfället räcker det med att du tar detta för givet och accepterar att detta stämmer.

I en likbent triangel kallas dessa två lika stora vinklarna för basvinklar. Även det omvända gäller: dvs om två vinklar i en triangel är lika stora måste triangeln vara likbent och motstående sidor också vara lika stora. För en liksidig triangel gäller det att alla tre sidor lika stora och därmed kommer alla vinklarna i triangeln med samma resonemang också att vara lika stora. Då vinkelsumman för en triangel alltid är 180180^{\circ} måste därmed varje vinkel vara 1803=60\frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}. Precis som för en likbent triangel gäller även det omvända: om en triangel har tre vinklar som är lika stora (dvs. alla vinklar är 6060^{\circ}) är triangeln liksidig och alla sidor är lika långa med.

Att en triangel är liksidig innebär också att den är likbent, eftersom den uppfyller kravet att två av sidorna är lika långa. En triangel som är likbent behöver däremot inte vara liksidig. Endast om den tredje sidan också är lika lång som de andra två är den likbenta triangeln även liksidig. (Vi kan jämföra detta med hur kvadrater och rektanglar fungerar. I en kvadrat måste alla vinklar vara räta och alla sidor vara lika långa. I en rektangel måste också alla vinklar vara räta, men alla sidor måste inte vara lika långa. Det räcker om sidorna som är mitt emot varandra har samma längd för att figuren ska vara en rektangel. Vi kan därför säga att alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater. Endast de rektanglar där alla sidor råkar vara lika långa är också kvadrater).


Övning 5

I den likbenta triangeln ABC\triangle ABC är ABC\angle ABC och ACB\angle ACB lika stora.

a) Visa att om du drar en sträcka från hörnet AA till en punkt DD på sträckan BC|BC| så att BDA=CDA=90\angle BDA = \angle CDA = 90^{\circ} så är DAB=DAC\angle DAB = \angle DAC. (Sträckan AD|AD| kallas här höjden till AA och är densamma som den man använder vid areaberäkning vid val av BC|BC| som bas. Att dra sträckan AD|AD| kallas även att “dra höjden från AA”.)

b) Visa även det omvända; dvs om höjden AD|AD| i en triangel ABC\triangle ABC sammanfaller med den linje som delar BAC\angle BAC i två lika stora delar (dvs. DAB=DAC\angle DAB = \angle DAC), så måste ABC\triangle ABC vara likbent med AB=AC|AB| = |AC|.


Några bra trianglar att veta vinklarna på är de som fås av en halv kvadrat (dvs. en kvadrat med en linje dragen genom en av diagonalerna) och en halv liksidig triangel (dvs. en liksidig triangel där en av höjderna har dragits). Båda kan i figurerna nedan betecknas som ABD\triangle ABD. Att beräkna vinklarna lämnas som övning till läsaren.


Övning 6

a) Beräkna vinklarna i en halv kvadrat, ABD\triangle ABD i figur AA ovan b) Beräkna vinklarna i en halv liksidig triangel, ABD\triangle ABD i figur BB ovan


3.5 Månghörningar

När man ska rita figurer kan man göra det på olika sätt, men om du blir tillsagd att rita en fyrhörning är det med stor sannolikhet en konvex fyrhörning du ritar. Att figuren du ritar är konvex innebär att alla vinklar inuti figuren är mindre än 180180^{\circ}. Nedan kan ni se en konvex fyrhörning och en konkav (dvs. minst en vinkel är större än 180180^{\circ}). Definitionen för en konvex eller konkav figur gäller även för månghörningar med fler hörn än 44, en triangel är inte möjlig att göra konkav då vinkelsumman alltid ska vara 180180^{\circ}.

I majoriteten av problemen man stöter på inom geometrin pratar man om just konvexa månghörningar. En annan vanlig typ av månghörning man stöter på är den som kallas regelbunden. Att månghörningen är regelbunden innebär att alla sidor och alla vinklar är lika stora. En regelbunden fyrhörning är till exempel detsamma som en kvadrat.

3.6 Vinkeljakt

En av de enklaste metoderna för att lösa geometriproblem kallas för vinkeljakt. Det är precis vad det heter och går ut på att leta efter vinklar tills du har hittat den du är ute efter. Problemet behöver inte nödvändigtvis vara formulerat att du ska bestämma en viss vinkel. Till exempel så kan en uppgift där du ska bestämma att en viss triangel är likbent omformuleras till att du ska visa att de två basvinklarna är lika stora. För om basvinklarna är lika stora måste sidorna vara lika stora och därmed triangeln vara likbent.

Hur ska man då gå tillväga vid sådana här uppgifter? Det är inte alltid som figuren uppgiften beskriver är given till dig från början. Isåfall är det första du ska göra att rita upp den. Som nämnt innan är det inte superviktigt att propotionerna stämmer exakt. Det räcker så länge figuren är någorlunda korrekt ritad. Om du vet att en vinkel du är spetsig/rät/trubbig bör du rita den på rätt sätt, men det är inte nödvändigt att ta den är exakt så många grader som det står i uppgiften. Det är inte alltid det är lätt att veta hur figuren ska se ut och man kan behöva prova sig fram allt eftersom. Ibland kan till och med flera olika bilder stämma. I de flesta problem nedan är figuren given till dig från början, om än inte alltid komplett. Du behöver dock förmodligen rita upp dem på ett separat papper för att kunna arbeta med dem.

När grundbilden är klar ska du läsa igenom informationen du får i uppgiften och se till att allt blir markerat i bilden. Två lika stora vinklar eller sidor kan till exempel markeras med ett streck på dem. Se bara inte till att blanda ihop det allt för mycket, om det till exempel finns två par av sidor som är lika stora kan ena paret markeras med ett streck och det andra med två för att inte blanda ihop vilka sidor som är lika varandra. Det kan vara extra bra att skriva ned informationen du får vid sidan av figuren med för att dubbelkolla att du fått med allt. Det är väldigt lätt hänt att man ritar figuren från beskrivningen och sedan sitter och arbetar med den utan att komma någon vart för att man missat en viktig detalj i uppgiften.

Många vinkeljaktsproblem löses genom att beskriva en vinkel genom en ekvation. Därför kan det vara bra att namnge vissa vinklar i figuren. Med det sagt behöver du inte gå överstyr och namnge alla vinklar du kan, det kan snabbt bli rörigt. Däremot kan du tänka efter vilka vinklar det skulle vara relevant att uttrycka med en variabel och om du behöver lägga till fler snarare göra det efter hand när du inte kommer någon vart. Ett tips är att börja med den/en av dem du är ute efter. Vissa vinklar kan uttryckas som en summa eller differens av två andra (till exempel x=u+vx = u + v från yttervinkelsatsen) och du får själv välja här vad du tycker känns bäst av att ge den ett nytt namn (xx) och anteckna det här förhållandet, eller att simpelt namnge den som summan/differensen av de andra två vinklarna (u+vu+v). I de flesta fall är det bäst att ha så få variabler som möjligt för att undvika förvirring. Om du kan beskriva en vinkel som summan/differensen mellan två variabler rekommenderar vi att du gör det istället för att införa ännu en ny variabel. I de fall då du ges den faktiska vinkeln i grader ska du naturligtvis skriva in detta i figuren direkt istället för att kalla den för en variabel.

När du har fått ner all viktig information från uppgiften och döpt den/de relevanta vinklarna får du återgå till informationen du antecknat i figuren. Är till exem två sidor lika stora och utgör två sidor i en triangel vet du att denna triangeln måste vara likbent och även basvinklarna lika stora. En liksidig triangel ger till och med vinklarna direkt, 6060^{\circ}!

I vissa fall räcker det inte med bilden som man får beskriven i uppgiften utan man måste själv dra extra linjer för att den ska lösa sig. Detta är något av det svåraste som finns inom geometrin för oftast är det inte självklart att man ska dra den/de linjerna förrän efter man har löst uppgiften. I exemplet nedan är detta fallet. Vi kommer att visa två olika sätt att lösa uppgiften, men givetvis finns det fler sätt man kan göra det på.


Exempel 1

Visa att om linjerna 1\ell_1 och 2\ell_2 är parallella så är vinkeln x=142x = 142^{\circ}.

Lösning

I första lösningsförslaget drar vi en linje vinkelrät mot linjerna 1\ell_1 och 2\ell_2. Att linjen är vinkelrät betyder att vinkeln mellan den nya linjen och linjerna 1\ell_1 och 2\ell_2 är 9090^{\circ}. Att det går att dra en linje som är vinkelrät mot både 1\ell_1 och 2\ell_2 har att göra med att de två linjerna är parallella. Därmed är vinkeln mellan de båda linjerna och vår dragna linje lika stora (de är likbelägna vinklar) och om en av vinklarna är rät måste även den andra vara det. Om linjerna inte hade varit parallella hade vinklarna mot den nya linjen varit olika stora.

När vi har dragit denna linjen får vi en femhörning. Om ni löste Övning 4 kan ni själva räkna ut vinkelsumman till att vara 540540^{\circ} (sätt in nn = 55 i formeln). Tre vinklar är redan givna (de två vinklarna mot 1\ell_1 och 2\ell_2 som var 9090^{\circ} och den given från början som var 8686^{\circ}) och de två övriga kan vi räkna ut som a=132a = 132^{\circ} och b=xb = x då dessa par av vinklar är vertikalvinklar till varandra. Nu kan vi räkna ut xx som:

x=540(90+90+86+132)=142x = 540^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ} + 86^{\circ} + 132^{\circ}) = 142^{\circ}

I det andra lösningsförslaget förlänger vi istället linjen som går genom 1\ell_1 hela vägen till 2\ell_2. Då bildas det en triangel med vinklarna uu, vv och ww.

Vinklarna uu och vv är sidovinklar till xx respektive 8686^{\circ}, och måste då vara 180x180^{\circ} - x respektive 9494^{\circ} stora. Yttervinkeln yy är en likbelägen vinkel till vinkeln markerad som 132132^{\circ} och då 1\ell_1 och 2\ell_2 är parallella måste y=132y =132^{\circ}. Med detta kan vi beräkna ww på två olika sätt: det första som sidovinkel till yy, det andra som sista vinkeln i en triangel med vinkelsumman 180180^{\circ}

w=180132=48w=180(94+180x)=x94w = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ} \\ w = 180^{\circ} - (94^{\circ} + 180^{\circ}-x) = x - 94^{\circ}

Därmed kan xx beräknas som x=94+48=142x = 94^{\circ} + 48^{\circ} = 142^{\circ}


Det nästan viktigaste tipset för den här typen av uppgifter är att inte få panik. Det är lätt hänt att man sitter och stirrar på bilden när den väl är uppritad och bara väntar på att svaret ska hoppa fram och när det inte gör det tror du att du är fast. Det är inte fallet och oftast behöver du mer information som du får genom att arbeta vidare med det du fick från början. Istället för att vänta på den plötsliga insikten om hur du ska lösa uppgiften ska du istället fokusera på det du fått givet och systematiskt gå igenom detta för att själv upptäcka andra samband som tillsammans med det du har leder till en lösning.

Problem att lösa för Lektion 3

1. Figuren nedan är ett så kallat pentagram och femhörningen ABCDEABCDE är därmed en regelbunden femhörning. Bestäm vinklarna AA, BB, CC, DD och EE.

2. I figuren nedan är två vinklar markerade som 7575^{\circ} och en vinkel som 110110^{\circ}. Hitta vinkeln vv (BEC\angle BEC).

3. Visa att summan av yttervinklarna till en konvex fyrhörning är 360360^{\circ}.

4. Triangeln ABCABC är likbent med AC=BC|AC| = |BC|. Man förlänger sträckan BCBC till en punkt DD och drar sedan en sträcka DFDF som bildar en rät vinkel med sträckan ABAB. Om vinkeln BACBAC är 7070^{\circ}, vad är vinklarna i triangeln CDECDE?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2017, del 2 problem 1

5. ABC\triangle ABC är likbent med AB=BC|AB| = |BC|. Punkten DD väljs på linjen BCBC så att BB ligger mittemellan CDCD, dvs. BD=BC|BD| = |BC|. Vi vet att DAB=BAC=v\angle DAB = \angle BAC = v. Bestäm vinklarna i ABC\triangle ABC.

6. ABC\triangle ABC är en likbent triangel med sidorna AB=AC|AB| = |AC|, det enkla strecket på sidorna markerar att de är lika långa. Punkten DD väljs på sträckan BCBC så att BD=AD|BD| = |AD|, detta markeras med dubbla streck och ska inte blandas ihop med det enkla strecket på sidorna ABAB och ACAC. DAC=54\angle DAC = 54^{\circ}. Bestäm vinklarna i ABC\triangle ABC.

7. I figuren nedan är de två linjerna markerade med streck parallella. Givet vinklarna markerade som 5656^{\circ} och 115115^{\circ}, hur stor är vv?

8. I ABC\triangle ABC ligger punkten DD på sträckan BCBC så att AB=AD=DC|AB| = |AD| = |DC|. Givet att BAD=14\angle BAD = 14^{\circ}, bestäm BAC\angle BAC.

9. I figuren nedan är de två vinklarna markerade med två bågar lika stora. BAC=48\angle BAC = 48^{\circ} och BDC=32\angle BDC = 32^{\circ}. Beräkna vinkeln vv.

10. En ljusstråle från punkten SS träffar en spegel i punkten PP och fortsätter mot TT så att PTPT är vinkelrät mot RSRS (dvs, linjerna PTPT och RSRS skär varandra med 9090^{\circ}, se figur). Hur stor är vinkeln xx?

Pythagoras Quest, riksfinal 2011, del 2 problem 6

Lösningar

1. Vi börjar med att markera motstående punkt i den mindre (regelbundna) femhörningen som AA', BB', CC', DD' och EE' samt alla relevanta vinklar, se figur nedan.

Denna femhörning är som sagt regelbunden och alla vinklar är lika stora (108108^{\circ}). Sidovinklarna BAD\angle B'A'D och ABD\angle A'B'D till BAE\angle BA'E och CBA\angle CB'A är markerade i figuren som v och kan beräknas till: v=180108=72v = 180 - 108 = 72^{\circ}. Nu när vi vet två av tre vinklar i ABD\triangle A'B'D kan vi beräkna BDA=ADB\angle B'DA' = \angle ADB (ww) som: w=1807272=36w = 180 - 72-72 = 36^{\circ}. Hela denna figuren är symmetrisk (i och med den regelbundna femhörningen ABCDEA'B'C'D'E') och resterande vinklar i pentagramet beräknas på samma sätt och fås till lika stora (3636^{\circ}). Därmed är vinkel AA, BB, CC, DD och EE i pentagrammet 3636^{\circ}!

2. Om igen börjar vi med att markera vissa av punkterna i den inre femhörningen som DD', EE' och BB' samt alla relevanta vinklar, se figur nedan.

Från detta startar vi nu vår vinkeljakt. CDE\angle CD'E är en vertikalvinkel till ADB\angle AD'B och är därmed lika stor: CDE=ADB=110\angle CD'E = \angle AD'B = 110^{\circ}. Notera att den inre femhörningen denna gången inte kan vara regelbunden (även om den ser ut att kunna vara det) då ADB=110108\angle AD'B = 110^{\circ} \neq 108^{\circ}!

ACE=ECB\angle ACE = \angle E'CB' (uu) kan beräknas som den tredje vinkeln i EBC\triangle E'B'C: u=1807575=30u = 180 - 75 - 75 = 30^{\circ}. Till slut kan vi beräkna BEC\angle BEC (vv) som den tredje vinkeln i CDE\triangle CD'E: v=18011030=40v = 180 - 110 - 30 = 40^{\circ}.

3. Det första vi gör är att namnge punkterna till AA, BB, CC och DD för att lättare kunna referera till vinklar inuti fyrhörningen. Om vi nu drar sträckan AC|AC| delas vinklarna DAB\angle DAB och BCD\angle BCD upp i två vinklar, här namngivna a1a_1, a2a_2, c1c_1 och c2c_2. Se figur nedan.

Med hjälp av yttervinkelsatsen från Övning 3 som säger att yttervinkeln är lika stor som summan av de två återstående vinklarna i triangeln kan vi ställa upp följande samband:

u=a1+c1y=a2+c2u = a_1 + c_1 \\ y = a_2 + c_2

Tillsammans blir alltså summan av yttervinklarna uu och yy:

u+y=a1+a2+c1+c2=DAB+BCDu + y = a_1 + a_2 + c_1 + c_2 = \angle DAB + \angle BCD

Om vi istället drar sträckan BD|BD| delar vi istället upp vinklarna ABC\angle ABC och CDA\angle CDA i två delar, här betecknade med b1b_1, b2b_2, d1d_1 och d2d_2. Se figur nedan.

Med användning av yttervinkelsatsen och samma resonemang som tidigare gäller alltså även att:

x+z=b1+b2+d1+d2=ABC+CDAx + z = b_1 + b_2 + d_1 + d_2 = \angle ABC + \angle CDA

Summan av alla yttervinklarna är alltså summan av de inre vinklarna i fyrhörningen vilket vi bevisat sedan tidigare är 360360^{\circ}!

x+y+z+u=ABC+BCD+CDA+DAB=360x + y + z + u = \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

4. Vi börjar med att markera vinkeln BAC\angle BAC vi har fått given i figuren. Därefter startar vi vår vinkeljakt. AFE=AFD=90\angle AFE = \angle AFD = 90^{\circ}, detta då den är en sidovinkel till en rät vinkel (BFD\angle BFD). Då BAC=FAC=FAE=70\angle BAC = \angle FAC = \angle FAE = 70^{\circ} måste AEF=1809070=20\angle AEF = 180 - 90 - 70 = 20^{\circ}. DEC\angle DEC är en vertikalvinkel till AEF\angle AEF, alltså måste DEC=20\angle DEC = 20^{\circ}.

Då har vi hittat en av de tre vinklarna i CDE\triangle CDE genom att använda oss av att sträckan DFDF är vinkelrät mot sträckan ABAB samt att BAC\angle BAC är 7070^{\circ}. Den sista biten av information vi har fått från uppgiften är kopplad till att ABC\triangle ABC är likbent med AC=BC|AC| = |BC|. Vi vet om att i en likbent triangel är basvinklarna lika stora, alltså måste CBA=DBA=DBF=BAC=70\angle CBA = \angle DBA = \angle DBF = \angle BAC = 70^{\circ}. Genom att summera vinklarna i DBF\triangle DBF får vi nu att FDB=1809070=20\angle FDB = 180 - 90 - 70 = 20^{\circ}. CDE\triangle CDE är alltså likbent även den med CE=DC|CE| = |DC|!. Till slut kan vi beräkna den sista vinkeln DCE\angle DCE antingen genom att summera vinklarna i CDE\triangle CDE eller genom att beräkna den som sidovinkeln till ACB\angle ACB. Oavsett så får vi att DCE=1802020=140\angle DCE = 180 - 20 - 20 = 140^{\circ}. Därmed har vi beräknat alla vinklar i CDE\triangle CDE till 2020^{\circ}, 2020^{\circ} och 140140^{\circ}, vilket var målet med uppgiften!

5. Vi börjar med att notera och markera informationen vi får givet i uppgiften. ABC\triangle ABC är likbent med AB=BC|AB| = |BC|, alltså är BCA=BAC=v\angle BCA = \angle BAC = v.

Givet är också att sträckan BD=BC|BD| = |BC| vilket är lika med AB|AB|, alltså är även ABD\triangle ABD likbent med BD=AB|BD| = |AB|! Därmed måste de två basvinklarna BAD\angle BAD och BDA\angle BDA vara lika stora, närmare bestämt vv. Vi ser nu att vi har alla vinklar i ADC\triangle ADC och vi kan nu använda detta för att lösa ut vinkeln vv.

v+2v+v=4v=180v + 2v + v = 4v = 180^{\circ}

Alltså måste v=1804=45=BAC=BCAv = \frac{180}{4} = 45^{\circ} = \angle BAC = \angle BCA! Den sista vinkeln (ABC\angle ABC) i ABC\triangle ABC kan nu beräknas som: \angle ABC = 180 - \angle BAC - \angle BCA = 180 - 45 -45 = 90^{\circ} ABC\triangle ABC är alltså en halv kvadrat med ABC\angle ABC rät och de övriga två vinklarna 4545^{\circ}.

6. Det första vi gör är att tolka informationen vi har fått till något relevant för vår vinkeljakt, samt markera relevanta vinklar i figuren. ABC\triangle ABC är likbent med AB=AC|AB| = |AC|. Om vi benämner ABC\angle ABC som vv måste då ABC=ACB=v\angle ABC = \angle ACB = v. Från vår figur kan vi även se att ABD\triangle ABD är likbent med AD=BD|AD| = |BD|. Därmed måste även BAD=ABD=v\angle BAD = \angle ABD = v.

Vi har nu alla vinklar i ABC\triangle ABC och kan använda det för att lösa ut vv.

(v+54)+v+v=3v+54=180(v + 54) + v + v = 3v + 54 = 180^{\circ}

Om vi tar minus 5656 på båda sidor får vi:

3v=1263v = 126^{\circ}

vv kan då lösas ut som: 1263=42\frac{126}{3}^{\circ} = 42^{\circ}. Vinklarna i ABC\triangle ABC kan då skrivas som: ABC=ACB=42\angle ABC = \angle ACB = 42^{\circ} och BAC=54+42=96\angle BAC = 54 + 42^{\circ} = 96^{\circ}.

7. Vi kan hitta två olika typer av vinklar i figuren ovan. Den första är den som kallas för likbelägna vinklar vilka, om de två linjerna var parallella, var lika stora. Vinkeln uu här är likbelägen till vinkeln markerad med 56°56°. De två linjerna markerade med streck var enligt uppgiftsformuleringen parallella, alltså måste u=56u = 56^{\circ}.

Den andra vinkeltypen vi återfinner i figuren är den som kallas för sidovinklar. Nere i det högra hörnet av figuren ser vi två vinklar, markerade som ww och 115115^{\circ} som tillsammans motsvarar vinkeln över en rak linje (den nedre linjen). Alltså måste w=115w = 115^{\circ}.

Slutligen vet vi att vinkelsumman i en triangel är 180180^{\circ}, alltså måste: u+v+w=56+v+115=180u + v + w = 56 + v + 115 = 180^{\circ} och v=18056115=9v = 180 - 56 - 115 = 9^{\circ}.

8. ABD\triangle ABD är likbent med AB=AD|AB| = |AD|, därmed måste motsvarande basvinklar (ABD\angle ABD och ADB\angle ADB) vara lika stora, dessa kan betecknas med uu (ABD=ADB=u\angle ABD = \angle ADB = u). Även ACD\triangle ACD är likbent med AD=CD|AD| = |CD|. Därmed är DAC=ACD\angle DAC = \angle ACD och kan betecknas med vv.

Då det är givet att BAD=14\angle BAD = 14^{\circ} kan vi lösa ut uu:

2u+14=1802u + 14 = 180^{\circ}

Alltså är u=180142=1662=83u = \frac{180 - 14}{2} = \frac{166}{2} = 83^{\circ}. ADC\angle ADC är en sidovinkel till ADB\angle ADB och kan därmed beräknas som: ADC=18083=97\angle ADC = 180 - 83 = 97^{\circ}. Då ADC\angle ADC även kan skrivas som 1802v180 - 2v kan vi nu lösa ut vad vv är:

1802v=97180 - 2v = 97^{\circ}

vilket ger: v=832=41.5v = \frac{83}{2} =41.5^{\circ}. Slutligen ska vi se till att beräkna det som efterfrågas i uppgiften:

BAC=BAD+DAC=14+41.5=55.5\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = 14 + 41.5 = 55.5^{\circ}

9. Den första och viktigaste observationen vi gör är att de två vinklarna med dubbelbågar är likbelägna vinklar som är lika stora, därför måste linjerna ABAB och CDCD vara parallella! BAC\angle BAC måste då vara lika stor som sin alternatvinkel ACD\angle ACD, dvs. BAC=ACD=48\angle BAC = \angle ACD = 48^{\circ}.

Med hjälp av yttervinkelsatsen (från Övning 3) kan vi då räkna ut vinkeln vv som:

v=48+32=80v = 48 + 32 = 80^{\circ}

Och därmed är problemet löst!

10. Det här är en typ av uppgift där vi behöver göra det som tillhörde den svåraste delen av geometrin, vi behöver själv lägga till streck i figuren! Vi får åtminstone en liten hint om det i formuleringen av uppgiften: Linjerna PTPT och RSRS är vinkelräta. Om vi då förlänger sträckan PTPT till en punkt QQ på sträckan RSRS samt namnger spegelns skärningspunkt med RSRS till OO, får vi figuren nedan.

OPQ\angle OPQ är en vertikalvinkel till den vinkel som bildas mellan sträckan QTQT och spegeln (xx), därmed måste OPQ=x\angle OPQ = x. Nu ser vi att vi har alla vinklar i PQS\triangle PQS utom QPS\angle QPS, vilken kan beskrivas som 2x2x. Om vi därmed använder oss av att vinkelsumman är 180180^{\circ} kan vi då lösa ut vad xx är:

2x+90+26=1802x + 90 + 26 = 180^{\circ}

Genom att subtrahera (90+26)(90 + 26) från båda sidor får vi nu:

2x=642x = 64^{\circ}

Därmed måste x=642=32x = \frac{64}{2} = 32^{\circ}, vilket var det som skulle bestämmas!

Detta är en uppgift som oftast antingen tar väldigt lång tid eller går väldigt snabbt. Antingen brukar man se direkt att man ska förlänga sträckan eller så glömmer man, trots hinten i uppgiftsformuleringen, att det är ett alternativ och försöker lösa uppgiften från figuren given. Det senare alternativet leder oftast till att man sitter fast och inte har någon idé om hur man kan ta sig vidare då man försöker lösa uppgiften utan tillräcklig information. Detta är en av anledningarna till att geometri för många anses vara ett väldigt klurigt område. När detta händer, återgå till problemformulering för att dubbelkolla att du inte har missat någon information och försök angripa problemet på ett nytt sätt!


📝Lektion 4: Delbarhet

📝Lektion 2: Primtal och primtalsfaktorisering