📝

Lektion 2: Primtal och primtalsfaktorisering

📝Lektion 3: Geometri - fortsättning

📝Lektion 1: Exponenter och roten ur


Lektionsöversikt


Ordlista


2.1 Introduktion

I den här lektionen kommer vi att gå igenom primtal. Dessa tal har en väldigt speciell egenskap som kan användas för att lösa många problem med väldigt lite jobb.

Alla heltal har så kallade delare, vilka är de nummer som heltalet är jämnt delbart med. Talet 66 har exempelvis delarna 11, 22, 33 och 66. Dessa är de enda positiva heltalen som vi kan dela 66 med och få en kvot som går jämnt ut att ge oss någon rest. Några andra exempel på tal och deras delare är:

11: 11

88: 11, 22, 44, 88

2424: 11, 22, 33, 44, 66, 88, 1212, 2424

5353: 11, 5353

105105: 11, 33, 55, 77, 1515, 2121, 3535, 105105

Tal som har flera delare kan vi ofta bryta upp i mindre bitar. Talet 2424 kan vi skriva om till 22232\cdot2\cdot2\cdot3 eller 2332^3\cdot3. På samma sätt kan vi skriva om 105105 till 3573\cdot5\cdot7. Vi delar alltså upp talet i en produkt av så små tal som möjligt ända tills vi inte kommer längre. Talen 22, 33, 55 och 77 är sådana tal som vi inte kan dela upp ytterligare så de lämnar vi som de är.

De tal som vi får kvar i slutet av en sådan här uppdelning kallas för primtal. Vad som gör primtal speciella är att de bara har exakt två delare - 11 och sig själva - och därför kan vi inte dela upp dem i en produkt av två mindre tal. Primtal är därmed ett tals minsta beståndsdelar. Att skriva om ett heltal eller ett uttryck som en produkt av två mindre delar kallas att faktorisera, och när vi delar upp ett heltal så att vi endast har primtal kvar kallar vi det för att vi primtalsfaktoriserar.


Övning 1

Hitta alla primtal under 100100. (Hint! Det finns 2525 stycken totalt).


Talet 11 räknas faktiskt inte som ett primtal även om man kan tänka sig att det borde vara det. Vi kommer diskutera varför det inte är ett primtal längre fram i det här kapitlet.

Låt oss prova att primtalsfaktorisera talet 126126. Det lättaste när man ska primtalsfaktorisera är att börja med det minsta möjliga primtalet. 126126 är ett jämnt tal så talet 22 måste vara en av faktorerna. Vi börjar alltså med att dela 126126 med 22, vilket blir 6363.

Primtalsfaktorer: 22

Återstående tal: 6363

6363 ser vi är delbart med 33. Delar vi med detta får vi 2121.

Primtalsfaktorer: 232\cdot3

Återstående tal: 2121

2121 kan vi dela med 33, vilket blir 77. Talet 77 är ett primtal och kan inte faktoriseras ytterligare.

Primtalsfaktorer: 23372\cdot3\cdot3\cdot7

Återstående tal: -

126126 kan alltså primtalsfaktoriseras till 2337=23272\cdot3\cdot3\cdot7=2\cdot3^2\cdot7. Det är alltid en bra idé att skriva upp alla l primtalsfaktorerna på en rad allt eftersom du räknar ut dem för att hålla dina uträkningar organiserade.


Övning 2

Primtalsfaktorisera följande tal.

a) 2727

b) 3131

c) 114114

d) 288288

e) 726726

f) 13801380

g) 92409240


Även om man kan tänka sig det är talet 11 inte ett primtal. Det här kanske låter lite konstigt. 11 är ju delbart med 11 och det är också delbart med sig självt (vilket också råkar vara 11). Varför räknas det då inte som ett primtal? Anledningen är att det talet 11 inte bidrar med något när vi primtalsfaktoriserar. Om jag primtalsfaktoriserar 1515 får jag 353\cdot5. Men om jag räknar ett som ett primtal skulle jag kunna skriva det som 3513\cdot5\cdot1. Jag skulle också kunna skriva det som 35113\cdot5\cdot1\cdot1. Eller 351113\cdot5\cdot1\cdot1\cdot1. Jag kan lägga till hur många ettor som helst och produkten är fortfarande densamma.

Primtal har två viktiga egenskaper. För det första har de inga andra delare än 11 och sig själv. De kan alltså inte delas upp i en produkt av två mindre tal. För det andra måste de ha ett betydelsefullt värde. Talet 11 kan visserligen inte delas upp i en produkt av två mindre tal, men dess värde saknar betydelse när vi jobbar med multiplikation. En annan skillnad mellan talet 11 och primtalen är att 11 endast har en delare, nämligen sig själv. För att räknas som ett primtal måste ett tal ha exakt två delare. Varken mer eller mindre.

Talet 11 kan alltså sägas vara det tal som helt saknar primtalsfaktorer. På samma sätt som att vi kan addera hur många nollor som helst till en summa utan att förändra dess värde kan vi också multiplicera med 11 till en produkt utan dess värde påverkas.

Primtalsfaktorisering är ett smidigt sätt för oss att hitta ett tals alla delare på. Ett tals samtliga delare är nämligen alla möjliga kombinationer av dess primtalsfaktorer. Ta exempelvis talet 8484 vilket kan primtalsfaktoriseras till 22372^2\cdot3\cdot7. Alla möjliga kombinationer av dessa fem primtalsfaktorer blir då följande:

Hur primtalfaktorer kan kombineras till olika delare

PrimtalsfaktorerDelare
-11
222
333
2\cdot244
2\cdot366
777
2\cdot2\cdot31212
2\cdot71414
3\cdot72121
2\cdot3\cdot74242
2\cdot2\cdot3\cdot78484

Lägg märke till att om vi inte väljer några primtalsfaktorer alls så får vi delaren 11. Talet 11 är som sagt avsaknaden av primtalsfaktorer.


Övning 3

Hitta alla delare till följande tal:

a) 2525

b) 6868

c) 7171

d) 9999

e) 120120

f) 208208

g) 594594

h) 10001000


2.2 Varför är primtal användbara?

Anledningen till att vi primtalsfaktoriserar är för att få en bättre förståelse av hur ett tal är uppbyggt. Ta det här problemet som exempel.

📝
Summan av tre positiva heltal är 59 och deras produkt är 424. Vilka är de tre talen?

Vi börjar med att primtalsfaktorisera 424424 vilket ger oss 23532\cdot3\cdot53. Vilka tre tal vi än väljer vet vi alltså att de sammanlagt måste bestå av tre 22:or och en 5353:a. Jag kan dock välja att fördela dessa fyra faktorer mellan de tre talen på många olika sätt. Om vi fördelar dessa faktorer i tre grupper tal på alla möjliga sätt får vi följande möjliga kombinationer av tre tal.

Hur primtalsfaktorer kan fördelas över olika tal

Tal 1Tal 2Tal 3Tal 1 1Tal 1 2Tal 3 1SummaPropertySumma 1
--222532\cdot2\cdot2\cdot531111424424426426426
-2222532\cdot2\cdot531122212212215215215
-222^22532\cdot531144106106111111111
2222532\cdot532222106106110110110
2222^2535322445353595959

Beroende på hur vi väljer att fördela primtalsfaktorerna får vi olika kombinationer av tal och därmed olika summor, men bara en av dessa fördelningar gör att summan av våra tre tal blir 5959. De tre talen vi söker måste alltså vara 22, 44 och 5353.

Det som gör primtalsfaktorisering så användbart är att det låter oss veta vilka faktorer vi måste ha med i våra uträkningar. Vi får dessutom veta vilka faktorer vi inte kan använda oss av. Säg att jag hade försökt lösa problemet här ovan utan att jag hade vetat hur man primtalsfaktoriserar. Jag hade bara gissat på tre tal vars summa var 5959 och sedan försökt hitta en kombination som också gjorde att deras produkt var 424424. Jag hade kanske gissat på talen 11, 33 och 5555, men den här kombinationen innehåller en 33:a. För att komma till talet 424424 vet vi ju att vi måste ha exakt tre 22:or och en 5353:a. Om jag har en 33:a med kan produkten omöjligt bli 424424. Jag behöver inte ens räkna ut vad produkten 13551\cdot3\cdot55 blir. Jag vet att de talen inte kommer att fungera.

Säg att jag gör en ny gissning och chansar på talen 22, 1616 och 3535. Bara genom att kolla på talet 3535 och inse att det innehåller en 55:a vet du att mina tal inte kommer att fungera. Jag måste som sagt ha exakt tre 22:or och en 5353:a, och innehåller produkten primtalsfaktorn 55 kan produkten av mina tre tal inte bli 424424.

Jag kan sitta och gissa på olika kombinationer av tal hela dagen lång. Men så länge jag inte ser till att mina tal består av rätt faktorer kommer min produkt aldrig att kunna bli 424424. Detta är varför primtalsfaktorisering är så effektivt. Det låter oss se exakt vilka faktorer vi måste använda oss av och även vilka vi inte kan använda. Det finns väldigt många kombinationer av tre heltal vars summa är 5959, men det finns bara ett fåtal kombinationer vars produkt är 424424. Att börja med produkten är därför det lättaste sättet att lösa problemet och för att ta oss an produkten behöver vi kunna primtalsfaktorisera.

När kan vi använda primtalsfaktorisering? Primtalsfaktorisering kan endast användas när vi har en uppgift som handlar om produkter av heltal. Är vi inte 100% säkra på att det rör sig om heltal kan vi inte använda oss av metoden. Primtalsfaktorisering kommer heller inte hjälpa oss om det uppgiften endast handlar om summor eller differenser av heltal. Om vi däremot har produkter av heltal är sannolikheten väldigt hög för att problemet ska lösas med primtalsfaktorisering.

2.3 Största gemensamma delare

Vi har tidigare sett hur vi kan använda primtalsfaktorisering för att hitta samtliga delare till ett tal. Om vi har två eller flera tal kommer dessa ofta ha flera delare gemensamt. Listar vi exempelvis delarna till talen 3636, 4242 och 9090 kan vi se att 11, 22, 33 och 66 finns med som delare till alla tre tal. Det högsta av dessa tal, 66, kallas för talens största gemensamma delare (SGD). Detta kan vi skriva som att SGD(36,42,9036, 42, 90) = 66.

Delare till talen 36, 42 och 90

364290-
111111Untitled
222222Untitled
333333Untitled
446655Untitled
667766Untitled
99121299Untitled
121221211010Untitled
181842421515Untitled
36361818Untitled
3030Untitled
4545Untitled
9090Untitled

Det enklaste sättet att ta reda på vad den största gemensamma delaren till en grupp av heltal är att primtalsfaktorisera talen och undersöka vilka faktorer som talen har gemensamt.

36=2 36 = 2 \ \cdot  232\cdot3  3\cdot \ 3

42=42 = 232\cdot3  7\cdot \ 7

90=90 = 232\cdot3  35\cdot \ 3\cdot5

Här kan vi direkt se att alla våra tre tal innehåller en 22:a och 33:a, och således måste deras SGD vara 23=623 = 6. Om det visar sig att en grupp av tal inte har några gemensamma faktorer alls är deras SGD = 11. Sådana tal säger vi är relativt prima. Exempelvis är 1515 och 2828 relativt prima tal då de helt saknar gemensamma faktorer.


Övning 4

Hitta den största gemensamma delaren till följande grupper av tal:

a) 2,4,8,16,322, 4, 8, 16, 32

b) 252,306252, 306

c) 126,42,154126, 42, 154

d) 308,420,672308, 420, 672

e) 147,256147, 256

f) 98,180,188,33098, 180, 188, 330


Att kunna hitta gemensamma primtalsfaktorer mellan två tal är väldigt användbart när vi ska förkorta bråk. Om vi har väldigt stora tal i täljaren och nämnaren är det lättaste sättet att förkorta bråket ofta att primtalsfaktorisera båda tal och sedan stryka alla gemensamma primtalsfaktorer. Ta bråket 39984 / 4284039 984\ /\ 42 840 som exempel. Primtalsfaktoriserar vi täljaren och nämnaren får vi

3998442840=243721723325717=(27)(233717)(35)(233717)=2735=1415\dfrac{39984}{42840}=\dfrac{2^4\cdot3\cdot7^2\cdot17}{2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot17}=\dfrac{(2\cdot7)(2^3\cdot3\cdot7\cdot17)}{(3\cdot5)(2^3\cdot3\cdot7\cdot17)}=\dfrac{2\cdot7}{3\cdot5}=\dfrac{14}{15}

Bråket kan alltså förkortas till 14 / 1514\ /\ 15. Observera att de faktorer som vi strök mellan täljaren och nämnaren var alla de faktorerna som tillsammans utgjorde ales SGD. Multiplicerar vi ut alla de gemensamma faktorerna får vi att SGD(39984,42840)=233717=2865(39 984, 42 840) =2^3\cdot3\cdot7\cdot17 = 2865. Det är alltså den största gemensamma delaren mellan täljaren och nämnaren som vi förkortar ett bråk med.


Övning 5

Förkorta följande bråk så långt som möjligt:

a) 10560\frac{105}{60}

b) 693528\frac{693}{528}

c) 21263\frac{212}{63}

d) 159127488\frac{15 912}{7488}

e) 275184458640\frac{275 184}{458 640}


2.4 Minsta gemensamma multipel

En ytterligare sak som kan vara intressant att ta reda på när vi har en grupp av heltal är deras minsta gemensamma multipel (MGM). En multipel av ett heltal xx är ett tal som är jämnt delbart med xx. Exempelvis är 1414, 2121 och 7777 multiplar av talet 77 eftersom att de alla är delbara med 77. På samma sätt är 44, 1212, 2020 och 100100 multiplar av talet 44. En multipel till xx är alltså xx multiplicerat med ett annat heltal.

Den minsta gemensamma multipeln till en grupp med heltal är det lägsta nummer som alla heltalen delar jämnt. OBS! Ibland kallas minsta gemensamma multipel istället för minsta gemensamma nämnare.

Ta talen 84=223784 = 2^2\cdot3\cdot7 och 112=247112 = 2^4\cdot7 som exempel. För att ett tal ska vara en multipel till 8484 måste det innehålla minst två 22:or, en 33:a och en 77:a. För att vara en multipel till 112112 måste det innehålla minst fyra 22:or och en 77:a. Eftersom vi vill ha en multipel till både 8484 och 112112 måste det talet alltså innehålla fyra 22:or, en 33:a och en 77:a. Den minsta gemensamma multipeln är alltså 2437=3362^4\cdot3\cdot7 = 336. Detta kan skrivas som att MGM(84,11284, 112) = 336336.

För att hitta den minsta gemensamma nämnaren mellan en grupp av tal behöver vi alltså bara primtalsfaktorisera talen och sedan ta varje primtal upphöjt den högsta möjliga exponenten. Multiplicerar vi dessa primtalsfaktorer med varandra får vi talens MGM.


Övning 6

Hitta den minsta gemensamma multipeln till följande grupper av tal:

a) 48,10848, 108

b) 33,84,13533, 84, 135

c) 2,4,8,16,322, 4, 8, 16, 32

d) 11,13,1911, 13, 19

e) 18,21,4518, 21, 45


Övning 7

Hur många multiplar av talet 1313 finns det mellan 100100 och 300300?


Problem att lösa för Lektion 2

1. Förklara skillnaden mellan:

a) ett tals faktorer och dess delare.

b) att ett tal är delbart med talet xx jämfört med att det är en multipel av xx.

c) att lista ett tals delare jämfört med att lista dess multiplar.

2. Hur många primtal har slutsiffran 55?

3. Tre heltal aa, bb och cc är multiplar av talet 99. Kan vi vara säkra på att SGD(a,b,c)=9(a, b, c) = 9?

4. Karina har två tygbitar som är 7272 cm och 9090 cm långa. Hon vill klippa båda tygbitar i remsor så att alla remsor är lika breda. Vad är det bredaste måttet hon skulle kunna klippa remsorna i?

5. Produkten av två på varandra följande positiva udda tal är 675675. Vilka är de två talen? (Två på varandra följande udda tal är exempelvis 55 och 77 eller 2121 och 2323).

6. Axel gör två typer av kakor: choklad och vanilj. Han skär alla chokladkakor i 66 bitar och alla vaniljkakor i 88 bitar. Om Axel får lika många bitar av varje kaka, vilket är det minsta antal kakor han kan ha bakat?

7. Beräkna 6666666666661+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1\dfrac{666666 \cdot 666666}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1} .

Pythagoras Quest distriktsfinal 2014, del 2 problem 3

8. Om pp är ett primtal, hur många delare har p3p^3?

9. Summan av tre tal är 8383 och deras produkt är 14801480. Vilka är de tre talen?

10. Vilket är det minsta tal, bortsett från 11, som återfinns i alla tre talserier här nedan?

1,9,17,25,33,411, 9, 17, 25, 33, 41 …

1,14,27,40,53,661, 14, 27, 40, 53, 66 …

1,19,37,55,73,811, 19, 37, 55, 73, 81…

11. Max ska laga efterrätt till sig och sina fem kompisar. Varje rätt består av glass, banan och jordgubbar. Glassen säljs bara i paket om 6 kulor, bananerna endast i klasar om 10 bananer och jordgubbarna kan endast köpas i paket om 20 jordgubbar. Max vill att det ska finnas lika många glasskulor, bananer och jordgubbar i varje rätt. Vad är det minsta antal jordgubbar som han behöver köpa?

12. Det finns 8 hästar; häst 1, häst 2, häst 3 … häst 8. Talet i namnet motsvarar antalet minuter det tar för hästen att löpa runt samma cirkelformade bana. Alla hästar börjar sitt lopp på startlinjen samtidigt och de fortsätter att springa runt banan med samma fart. När de kommer tillbaka till början fortsätter de att springa runt. Alla startar när tiden är 00.

Vilken är det kortaste tid (i minuter) efter början då minst 66 hästar är tillbaka på startlinjen igen?

Pythagoras Quest, riksfinal 2017, del 2 problem 3

13. Simon blåser ballonger till ett födelsedagskalas. Ballongerna har någon av färgerna blått, gult eller rosa. Simon har tänkt sätta upp ballongerna i sex grupper så att varje färg är jämnt fördelad över varje grupp. Om han har fem gånger så många gula ballonger som blå, och hälften så många rosa ballonger som gula, vad är det minsta antal ballonger han kan ha?

14. Visa att

SGD(a,b)MGM(a,b)=abSGD(a, b) \cdot MGM(a, b) = ab

för alla heltal aa och bb.

15. Differensen mellan två heltal är 3131 och deras produkt är 21122112. Vilka är de två talen?

16. Om de tre positiva heltalen xx, yy och zz vet vi följande:

Vilka är de tre talen?

17. Visa att

SGD(a,b,c)MGM(ab,bc,ca)=abcSGD(a, b, c) \cdot MGM(ab, bc, ca) = abc

för alla heltal aa, bb och cc.

Lösningar

1. a) När det gäller heltal är faktorer och delare exakt samma sak, det är de tal som ett visst heltal är jämnt delbart med. När vi arbetar med algebraiska uttryck brukar vi dock bara använda ordet faktor för att beskriva ett tal eller ett uttryck som vårt ursprungliga uttryck är jämnt delbart med. Exempelvis är 33, 55 och (x+2)(x+2) faktorer till uttrycket 15x+3015x + 30.

b) Om ett tal är en multipel av xx är det per definition också delbart med xx. Exempelvis är 6060 en multipel av 1212, och därmed är 6060 även delbart med 1212. Detta är ingen skillnad mellan dessa formuleringar.

c) Delare är de nummer som ett tal är jämnt delbart med. Talets multiplar däremot är de nummer som talet själv är en delare till. Exempelvis har talet 1818 delarna 1,2,3,6,91, 2, 3, 6, 9 och 1818, och dess multiplar är 18,36,54,72,9018, 36, 54, 72, 90… etc. Ett tal har alltid ett begränsat antal delare men oändligt många multiplar.

2. Om ett tal slutar på siffran 55 måste det också vara delbart med 55. Primtal får dock inte ha någon annan delare än 11 och sig självt. Alltså är 55 det enda primtalet som har 55 som sin slutsiffra.

3. Nej, vi kan inte vara säkra på att SGD(a,b,c)=9(a, b, c) = 9. Om alla tre tal är multiplar av 99 vet vi säkert att deras största gemensamma delare måste innehålla faktorn 323^2. Det är dock möjligt att talen har fler gemensamma faktorer än så. Talen 3636, 5454 och 7272 innehåller exempelvis alla två 33:or men även en 22:a. De är alla multiplar av 99 men deras största gemensamma delare är 232=182\cdot3^2 = 18. Att alla tal är multiplar av 99 innebär bara att deras SGD måste vara delbar med 99. Talens SGD måste därför vara något av numrena 9,18,27,36,45...9, 18, 27, 36, 45... etc, men vilket nummer vet vi inte säkert utan mer information.

4. Eftersom alla remsor ska vara lika breda måste bredden på en remsa, i centimeter, vara ett tal som jämnt delar både 72=233272 = 2^3\cdot3^2 och 90=232590 = 2\cdot3^2\cdot5. Då vi vill att bredden ska vara så stor som möjligt är det alltså den största gemensamma delare till dessa tal som vi söker. Jämför vi talens primtalsfaktorer ser vi att den största möjliga bredden på remsorna är 232=182\cdot3^2 = \mathbf{18} cm.

5. Vi börjar med att primtalsfaktorisera 675675 vilket blir 33523^3\cdot5^2. Eftersom att produkten av heltalen är 675675 måste båda tal vara delare till 675675. Om vi listar alla delare till 675675 får vi följande resultat:

11

33

55

99

1515

2525

2727

4545

7575

135135

225225

675675

De enda två talparen som är på varandra följande udda tal är 11 och 33 samt 2525 och 2727. Paret 11 och 33 är uppenbart fel, men produkten av 25\mathbf{25} och 27\mathbf{27} däremot blir exakt 675675.

6. Antalet chokladkakebitar som Axel har måste vara en multipel av 66 och antalet vaniljkakebitar måste vara en multipel av 88. Det lägsta talet som är en multipel av både 66 och 88 är 2424, så Axel har 2424 bitar av varje kaka. Han har alltså bakat 246=4\frac{24}{6} = 4 chokladkakor och 248=3\frac{24}{8} = 3 vaniljkakor och således har han 4+3=74 + 3 = \mathbf{7} kakor totalt.

7. Adderar vi alla tal i nämnaren får vi 3636 vilket kan faktoriseras till 666\cdot6. Båda talen 666666666666 i nämnaren innehåller var sin 66:a, så vi kan stryka dessa faktorer i nämnaren och täljaren mot varandra så att vi endast har produkten 111111111111111111\cdot111111 kvar.

66666666666666=(66)(111111111111)66=111111111111\dfrac{666666 \cdot 666666}{6 \cdot 6}=\dfrac{(6 \cdot 6)(111111 \cdot 111111)}{6 \cdot 6}=111111 \cdot 111111

Multiplicerar vi dessa tal med varandra får vi 12345654321\mathbf{12345654321}.

8. Eftersom att pp är ett primtal kan vi inte primtalsfaktorisera p3p^3 ytterligare. Alla möjliga delare till p3p3 är därför 1,p,p21, p, p^2 och p3p^3. Talet har alltså 4\mathbf{4} delare.

9. Vi börjar med att primtalsfaktorisera 14801480 vilket blir 235372^3\cdot5\cdot37. Ett av våra tre tal måste alltså vara en multipel av 3737. Vi kan se att 337=1113\cdot37 = 111 vilket är större än 8383. Ett tal måste alltså vara 137=371\cdot37 = 37 eller 237=742\cdot37 = 74. Låt oss anta att ett tal är 3737. De andra två tal en måste då innehålla tre 22:or och en 55:a. Genom att fördela primtalsfaktorerna mellan dessa två tal kan vi följande summor:

Tal 1 Tal 2 Tal 1 Tal 2 Summa

- 2352^3\cdot5 \Longrightarrow 1 40 \Longrightarrow 41

22 2252^2\cdot5 \Longrightarrow 2 20 \Longrightarrow 22

222^2 252\cdot5 \Longrightarrow 4 10 \Longrightarrow 40

55 232^3 \Longrightarrow 5 8 \Longrightarrow 13

Den största möjliga summan vi kan få är alltså 4141, vilket innebär att summan av våra tre tal blir 41+37=7841 + 37 = 78. Detta är dock mindre än 8383 så vårt antagande var alltså fel. Ett av talen måste således vara 7474.

Om ett av talen är 7474 har måste de andra två talen innehålla två 22:or och en 55:a. Fördelar vi dessa primtalsfaktorer på alla möjliga sätt får vi följande summor:

Tal 1 Tal 2 Tal 1 Tal 2 Summa

- 2252^2\cdot5 \Longrightarrow 1 20 \Longrightarrow 21

22 252\cdot5 \Longrightarrow 2 10 \Longrightarrow 12

222^2 55 \Longrightarrow 4 5 \Longrightarrow 9

Den enda fördelningen som gör att summan av våra tre tal är 8383 är om vi låter det ena talet vara 44 och det andra 55. Vi får då 4+5+74=834 + 5 + 74 = 83. De tre talen är alltså 4,5\mathbf{4, 5} och 74\mathbf{74}.

10. Den första talföljden ökar med 88, den andra med 1313 och den tredje med 1818. Nästa gång som de tre talföljderna kommer hamna på samma tal är den minsta gemensamma multipeln av 88, 1313 och 1818 (plus 11 eftersom att vi börjar från 11 och inte 00). Primtalsfaktoriserar vi dessa tal får vi 232^3, 1313 och 2322\cdot3^2 så den minsta gemensamma multipeln är 231332=9362^3\cdot13\cdot3^2 = 936. Nästa tal som återfinns i alla tre talserie är alltså 936+1=937936+1=\mathbf{937}.

11. Max ska göra totalt sex efterrätter, en till sig och fem till sina kompisar. För att alla personer ska få lika många jordgubbar måste antalet jordgubbar vara en multipel av 66. Antalet jordgubbar måste också vara en multipel av 2020 eftersom det är den enda antalet som går att köpa åt gången. Det lägsta antalet jordgubbar han behöver köpa är alltså den minsta gemensamma multipeln av 66 och 2020, vilket är 30\mathbf{30}. Notera att all information om glassen och bananerna var överflödig för att lösa problemet.

12. Den kortaste tid som det kommer ta för alla åtta hästar att ta sig tillbaka samtidigt till startlinjen är den minsta gemensamma multipeln mellan 1,2,3,81, 2, 3, … 8, vilket är 233572^3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7. Att vi vill ha sex hästar på startlinjen samtidigt kan också ses som att vi ska välja bort två hästar. Vi vill då välja bort de hästar som gör att den minsta gemensamma multipeln för de sex hästar som är kvar blir så liten som möjligt. Det bästa valet vi kan göra är att ta bort hästarna med nummer 55 och 77, vilket det kommer att reducera den minsta gemensamma multipeln till 2332^3\cdot3. (Multipeln kommer inte minskas alls om vi väljer bort ett av talen 1,2,3,41, 2, 3, 4 eller 66, och tar vi bort 88 kommer den endast minskas med en faktor av 22). Den kortaste tiden efter början då minst sex hästar är tillbaka på startlinjen är alltså 24\mathbf{24} minuter

13. Då Simon har fem gånger så många gula ballonger som blå vet vi att antalet gula ballonger måste vara ett tal som är delbart med 55. Vi vet också att det ska finnas hälften så många rosa ballonger som gula, vilket endast är möjligt om antalet gula ballonger också är delbart med 22. Antalet gula ballonger är alltså delbart med både 5 och 2, och således måste det vara en multipel av 1010. Låt xx vara ett positivt heltal. Om det finns 10x10x gula ballonger finns det då 2x2x blåa och 5x5x rosa ballonger.

Simon vill dela upp ballongerna i sex grupper. Detta är endast möjligt om antalet ballonger av varje färg är en multipel av 66. Antalet rosa ballonger kommer endast vara en multipel av 66 om xx är en multipel av 66. Det minsta talet som xx kan vara är således 66, och det lägsta antalet ballonger som Simon kan ha är 26+106+56=12+60+30=1022\cdot6 + 10\cdot6 + 5\cdot6 = 12 + 60 + 30 = \mathbf{102}. Varje av de sex grupperna får då 22 blåa, 1010 gula och 55 rosa ballonger.

14. Vi kommer lösa det här problemet genom att visa att alla primtalsfaktorer som finns i produkten abab finns i antingen SGD(a,b)(a, b) eller MGM(a,b)(a, b). Låt pp vara ett primtal som finns mm gånger i talet aa och nn gånger i talet bb. (Det är möjligt att mm eller nn är 00 så att pp inte finns alls i aa eller bb). Detta innebär då att aa är delbart med pmp^m, bb är delbart med pnp^n och deras produkt abab är delbar med pmpn=pm+np^m \cdot p^n = p^{m+n}. Låt nn vara större än eller lika med mm. Eftersom att nn är den största exponenten kommer pnp^n alltid att finnas i MGM(a,b)(a, b). Kom ihåg att den minsta gemensamma multipeln är lika med produkten av alla Då bb är delbart med pnp^n, och mm är mindre än eller lika med nn, gäller det att bb även är delbart med pmp^m. Detta innebär att både aa och bb är delbart med pmp^m och således finns pmp^m i SGD(a,b)(a, b).

SGD(a,b)MGM(a,b)=abSGD(a, b) \cdot MGM(a, b) = ab

pmp^m pnp^n pm+np^{m+n}

Detta resonemang gäller för alla primtal pp. Alla primtalsfaktorer i abab finns därför i antingen i talens SGD eller MGM och således är båda leden i ekvationen lika stora.

15. Vi börjar som vanligt med att primtalsfaktorisera 21122112 vilket ger oss 263112^6\cdot3\cdot11. Lägg märke till att differensen mellan våra tal är udda. För att det ska vara möjligt måste det ena talet vara jämnt och det andra vara udda. Ett udda tal kan inte innehålla några 22:or, så alla sex 22:or måste finnas i det jämna talet. Om vi låter det jämna talet vara 26=642^6 = 64 blir det udda talet 3333 och vi når den eftersökta differensen 6433=3164 - 33 = 31. Vi behöver dock bevisa att det inte finns några andra kombinationer av positiva heltal vars differens också är 3131. Det kan vi dock göra väldigt lätt. Om vi överför en primtalsfaktor från det udda till det jämna talet kommer nämligen det jämna talet bli större samtidigt som det udda talet blir mindre. Differensen blir då större 3131, och således finns det inga andra positiva heltal vars differens är 3131 och produkt är 21122112.

I det här resonemanget har vi antagit att båda talen är positiva, men det stod aldrig något i frågan om att de måste vara det. Den enda restriktionen vi hade var att talen skulle vara heltal så vi måste undersöka negativa tal med. För att produkten ska bli positiv krävs det att båda tal är negativa. Vi kan använda samma resonemang som i ovanstående stycket för att visa att det ena talet måste vara en multipel av 26=642^6 = 64 och att den enda lösningen är om talen är 64-64 och 33,-33, då alla andra kombinationer kommer skapa en differens som antingen är större eller mindre än 3131.

De två lösningarna på problemet är alltså 64\mathbf{64} och 33\mathbf{33} eller 64\mathbf{-64} och 33\mathbf{-33}.

16. Primtalsfaktorisering ger oss att 56=23756 = 2^3\cdot7 och 294=2372294 = 2\cdot3\cdot7^2. Då 56=56= MGM(x,y)(x, y) måste något av dessa två tal innehålla exakt tre 22:or och något tal innehålla exakt en 77:a. Inget av talen xx och yy får bestå av fler än tre 22:or eller en 77:a, och de kan heller inte innehålla några andra primtalsfaktorer än 22 eller 77. Produkten yz=294=2372yz=294=2\cdot3\cdot7^2 innehåller endast en 22:a, så det måste vara xx som innehåller tre 22:or eftersom att yy inte kan göra det. Än så länge vet vi att:

x:23x: 2^3

y:y:

z:z:

xx och zz är relativt prima kan inte zz vara delbart med 22. Eftersom att produkten yzyz innehåller en 22:a måste den primtalsfaktorn alltså finnas i yy. Produkten yzyz ska också vara delbar med 33, men eftersom att MGM(x,y)=112(x, y) = 112 inte är delbar med 33 måste den primtalsfaktorn finnas i zz. Vi vet nu att:

x:23x: 2^3

y:2y: 2

z:3z: 3

Vi har tidigare konstaterat att yy inte kan innehålla mer än en 77:a. Produkten yzyz består dock av två 77:or så zz innehåller åtminstone en 77:a. Något av talen xx och yy behöver vara delbart med 77 eftersom att MGM(x,y)(x, y) är delbart med 77, men eftersom att xx och zz är relativt prima kan inte xx vara det tal som är delbart med 77. Alltså måste yy vara det tal som innehåller en 77:a.

x:23x: 2^3

y:27y: 2\cdot7

z:37z: 3\cdot7

Vi har nu uppfyllt alla kriterier, och då vi inte har gjort några antaganden under vårt resonemang är denna lösningen den enda riktiga. Svaret på uppgiften är alltså (x,y,z)=8,14,21(\mathbf{x,y,z) = 8,14,21}.

17. Det här beviset är lite komplicerat. För alla primtal pp låt pdp^d finnas i primtalsfaktoriseringen av aa, pep^e finnas i primtalsfaktoriseringen av bb och pfp^f finnas i primtalsfaktoriseringen av cc. (Några av dd, ee eller ff kan vara 00). Talen aa, bb och cc innehåller alltså dd, ee och ff antal pp respektivt och produkten abcabc innehåller (d+e+f)(d+e+f) antal pp.

Vi kan utan inskränkning anta att

defd \leq e \leq f

Eftersom att dd är den minsta exponenten kommer pdp^d vara p-termen i primtalsfaktoriseringen av SGD(a,b,c)(a, b, c). Primtalet pp delar abab exakt (d+e)(d + e) gånger, bcbc exakt (e+f)(e + f) gånger och caca exakt (d+f)(d+ f) gånger. Eftersom att defd ≤ e ≤ f gäller det att summan (e+f)(e + f) är störst. Detta innebär att pe+fp^{e+f} är p-termen i primtalsfaktoriseringen av MGM(ab,bc,ca)(ab, bc, ca).

SGD(a,b,c)MGM(ab,bc,ca)=abcSGD(a, b, c) \cdot MGM(ab, bc, ca) = abc

pdp^d pe+fp^{e+f} pd+e+fp^{d+e+f}

För varje primtal p kommer pd att finnas i SGD(a,b,c)(a, b, c) och pe+fp^{e+f} att finnas i MGM(ab,bc,ca)(ab, bc, ca). Produkten SGD (a,b,c) (a, b, c)\ \cdot MGM(ab,bc,ca)(ab, bc, ca) kommer alltså innehålla primtalet pp exakt (d+e+f)(d+e+f) gånger, vilket är precis så många gånger som det finns i produkten abcabc. Detta resonemang gäller för alla primtal. Eftersom att båda led i ekvationen innehåller pp lika många gånger kommer ekvationen alltid att hålla.


📝Lektion 3: Geometri - fortsättning

📝Lektion 1: Exponenter och roten ur