📝

Lektion 1: Exponenter och roten ur


Lektionsöversikt


Ordlista


1.1 Introduktion

Tack vare multiplikation kan vi skriva summor som bara består av samma term på ett mer kortfattat sätt. Exempelvis kan vi skriva 4+4+4+4+4 = 454 + 4 + 4 + 4 + 4 \ =\ 4\cdot5 och x+x+x = 3xx + x + x \ = \ 3x. Det finns också ett system för att skriva produkter som bara består av samma faktor på ett mer kortfattat sätt. Vill vi multiplicera talet 77 med sig självt fyra gånger kan vi skriva detta som 747^4 istället för 77777\cdot7\cdot7\cdot7. På samma sätt kan xxxxxxxx\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x skrivas om till x6x^6.

I ett uttryck som 747^4 kallas sjuan för basen och fyran för exponenten. Hela uttrycket utläses som “sju upphöjt till 44”. Ett uttryck som består av en bas och en exponent kallas för en potens. Ett tal upphöjt till 22 kallar vi ibland för att talet är i kvadrat, eftersom arean av en kvadrat med sidan xx har arean xx=x2x\cdot x = x^2. På samma sätt kallas också ett tal upphöjt till 33 ibland för att talet är i kubik.


Övning 1

Skriv om följande produkter i potensform.

a) “Nio i kubik”

b) 100010001000100010001000\cdot1000\cdot1000\cdot1000\cdot1000

c) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)

d) "Fjorton upphöjt till fem"

e) 12121212\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}

f) 55


1.2 Potensregler

Låt oss säga att vi vill multiplicera 23252^3\cdot2^5. Den första potensen är produkten av tre 22:or och den andra potensen är produkten av fem 22:or. Den slutgiltiga produkten innehåller då åtta 22:or. Det gäller därmed att 2325=28=2562^3\cdot2^5 = 2^8 = \mathbf{256}.

2325 = (222)(22222) = 22222222=282^3\cdot2^5\ =\ (2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2)\ =\ 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^8

Säg nu att vi vill beräkna 51158\frac{5^{11}}{5^8}. De åtta 55:orna i nämnaren kommer att ta ut sig mot de elva 55:orna i täljaren. Kvar har vi endast tre 55:or. Det gäller därmed att 51158=53=125\frac{5^{11}}{5^8} = 5^3 = \mathbf{125}.

51158 = 5555555555555555555 = 5551 = 53\dfrac{5^{11}}{5^8} \ = \ \dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5} \ = \ \dfrac{5\cdot5\cdot5}{1} \ = \ 5^3

Dessa två exempel visar ett användbart samband. När vi multiplicerar två potenser med samma bas adderar vi exponenterna med varandra. På samma sätt subtraherar vi exponenterna från varandra om vi delar två potenser med samma bas. Det gäller allmänt att:

am an=am+na^m \cdot \ a^n = a^{m+n}
aman=amn\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

OBS! Lägg märke till att vi endast kan addera och subtrahera exponenterna med varandra när baserna av potenserna är densamma. Vi kan inte ta 46534^6\cdot5^3 och försöka få det till 46+34^{6+3} eller 56+35^{6+3}.


Övning 2

Skriv följande produkter i potensform.

a) 94989^4\cdot 9^8

b) x5x13x^5\cdot x^{13}

c) 416464214^{16}\cdot4^6\cdot4^{21}

d) 820811\dfrac{8^{20}}{8^{11}}

e) 1331328137\dfrac{13^{3}\cdot13^{28}}{13^{7}}

f) y19y34y5y12\dfrac{y^{19}\cdot y^{34}}{y^{5}\cdot y^{12}}


Övning 3

Hur många gånger större är 3873^{87} jämfört med 3853^{85}?


Övning 4

Vilket uttryck är dubbelt så stort som 24x+52^{4x+5}?


Låt oss nu undersöka uttrycket 35453^5 \cdot 4^5. Kan vi förenkla detta på något sätt? Om vi skriver ut hela produkten får vi följande.

(33333)  (44444)(3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3)\ \cdot\ (4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4)

Flyttar vi om talen kan vi skapa fem par av treor och fyror.

(34)  (34)  (34)  (34)  (34)(3\cdot4)\ \cdot\ (3\cdot4)\ \cdot\ (3\cdot4)\ \cdot\ (3\cdot4)\ \cdot\ (3\cdot4)

Vilket är detsamma som 121212121212\cdot12\cdot12\cdot12\cdot12 eller 12512^5. Om potenserna har samma exponent kan vi börja med att multiplicera baserna med varandra och sedan ta resultatet av det upphöjt till exponenten. Det slutgilitga produkten består fortfarande av samma faktorer, och eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi multiplicerar faktorerna blir resultatet detsamma. Detta ger oss en till användbar regel för att hantera potenser med exponenterna är lika stora.

an bn=(ab)na^n \cdot \ b^n = (ab)^{n}


Övning 5

Skriv följande produkter i potensform.

a) 2107102^{10}\cdot7^{10}

b) 4434644^4\cdot3^4\cdot6^4

c) 3333333^3\cdot3^3\cdot3^3


Övning 6

Hur många gånger större är 121017100399\dfrac{12^{101} \cdot 7^{100}}{3^{99}} jämfört med 12100799398\dfrac{12^{100} \cdot 7^{99}}{3^{98}}?


1.3 Räkneordning med potenser

Som vi har gått igenom i vår tidigare lektion om räkneordningar så måste beräkningar utföras i en särskild ordning för att vi inte ska komma fram till fel resultat. Ska vi exempelvis beräkna 2+532+5 \cdot 3 måste vi först multiplicera 55 och 33 innan vi adderar med 22. Adderar vi 22 och 55 först och sedan multiplicera med 33 kommer vi multiplicera 33 med 77 och inte med 55 som beräkningen anger. Om vi adderar innan vi multiplicerar kommer additionen att “spilla över” på multiplikationen och påverka den beräkningen. För att undvika att en beräkning påverkar en annan måste vi alltid se till att utföra alla multiplikationer och divisioner innan vi går vidare till addition och subtraktion.

Samma sak gäller när vi börjar använda exponenter. Låt oss ta uträkningen 4534 \cdot 5^3 som exempel. Det här uträkningen säger att vi ska ta 55 upphöjt till 33 och multiplicera resultatet av det med 44. Vi kan också skriva detta som 45554 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5. Vad händer om vi istället multiplicerar 44 med 55 först och sedan tar resultatet av det upphöjt till 33? I så fall får vi 20320^3 vilket är detsamma som 43534^3 \cdot 5^3, vilket uppenbarligen inte är detsamma som 4534 \cdot 5^3. Anledningen till att det här hände var för att multiplikationen “spillde över” och påverkade exponentberäkningen. Vi har alltså precis samma problem som med addition och multiplikation. Det vi behöver göra för att lösa detta är att beräkna alla exponenter först innan vi går vidare till multiplikation och division. Om vi vill utföra någon beräkning innan vi börjar med exponenterna måste vi sätta den beräkningen inom parentes. I exemplet ovan skriver vi då (45)3(4 \cdot 5)^3. Parenteser går alltid före alla andra beräkningar. Vi kan sammanfatta ordningen som beräkningar ska göras i med hjälp av följande lista.

Prioritetslista för uträkningar

  1. Parenteser
  1. Potenser
  1. Multiplikation och division
  1. Addition och subtraktion


Övning 7

Beräkna följande uppgifter.

a) 3273^2 \cdot 7

b) 6+2396+2^3 \cdot 9

c) 2324+23252^3 \cdot 2^4 + 2\cdot3 - 2^5

d) (6+22)2(6+2 \cdot 2)^2

e) 53+525\dfrac{5^3+5}{25}

f) 3335(1+23)2\dfrac{3^3 \cdot 3^5}{(1+2^3)^2}


Övning 8

Vad är skillnaden mellan 64+626\dfrac{6^4+6^2}{6} och 64626\dfrac{6^4 \cdot 6^2}{6}?


1.4 Mer om potenser

Vad blir (23)4(2^3)^4? I den här uträkningen tar vi först 22 upphöjt till 33, och sedan tar vi resultatet av detta upphöjt till 44. Det första steget ger oss tre 22:or. Det andra steget ger oss sedan fyra grupper med tre 22:or i varje. Det totala antalet 22:or blir därmed 34=123\cdot4 = 12.

(23)4=(222)  (222)  (222)  (222)=212(2^3)^4 = (2\cdot2\cdot2) \ \cdot\ (2\cdot2\cdot2) \ \cdot\ (2\cdot2\cdot2) \ \cdot \ (2\cdot2\cdot2) = 2^{12}

Detta exempel ger oss en till användbar regel. När ett tal upphöjt med en viss exponent blir upphöjt till en ytterligare exponent multiplicerar vi de två exponenterna med varandra. Det gäller allmänt att

(am)n=am  n(a^m)^n = a^{m \ \cdot \ n}

En viktig skillnad som vi behöver vara tydliga med när vi arbetar med exponenter är mellan pot (23)4(2^3)^4 och 2342^{3^4}. Det första uttrycket innebär att vi först tar 22 upphöjt till 33, och sedan tar vi resultatet av detta upphöjt till 44. Det andra uttrycket däremot innebär att vi först tar 33 upphöjt till 44, och sedan tar vi 22 upphöjt till resultatet av 343^4. När vi beräknar dessa uttryck får vi alltså att (23)4=234=212(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}=2^{12} medans 234=23333=2812^{3^4}=2^{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}=2^{81}.

Hur blir det när basen är ett negativt tal, till exempel (2)4(-2)^4? Vi gör bara på precis samma sätt som förut och multiplicerar (2)(2)(2)(2)=16(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = 16. Som du säkert kan se kommer ett negativt tal upphöjt till en jämn exponent att ge ett positivt resultat eftersom produkten av två negativa tal blir positiv. Är exponenten däremot udda kommer resultatet istället att bli negativt. Exempelvis är (1)1000=1(-1)^{1000} = 1 medans (1)1001=1(-1)^{1001} = -1.

Ännu en viktig skillnad som vi behöver vara tydliga med är mellan uttrycken (2)4(-2)^4 och (24)-(2^4). Det första uttrycket innebär (2)(2)(2)(2)=16(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = 16 medans det andra innebär

(2222) =16-(2\cdot2\cdot2\cdot2)\ = -16. Om minustecknet är innanför parentesen, det vill säga att basen i potensen är negativ, ska vi ta den negativa basen gånger sig självt så många gånger som exponenten anger. Om minustecknet däremot är utanför parentesen är basen positiv. Vi beräknar då först värdet av potensen, och när vi är klara byter vi helt enkelt tecken på resultatet. När minustecknet är innanför parentesen kan resultatet bli antingen positivt eller negativt beroende på om exponenten är udda eller jämn. Är minustecknet istället utanför parentesen är resultatet alltid negativt när basen är ett positivt tal.


Övning 9

Skriv följande uttryck i potensform med samma bas.

a) (63)5(6^3)^5

b) 55(53)25^5 \cdot (5^3)^2

c) 32437(39)23^{2^4} \cdot 3^7 \cdot (3^9)^2

d) ((203)2)4((20^3)^2)^4

e) 22222^{2^{2^2}}


Övning 10

Beräkna följande uttryck.

a) (2)3-(2)^3

b) (1)100(-1)^{100}

c) (3)2-(-3)^2


1.5 När exponenten inte är ett positivt tal

Multiplicerar vi en potens med samma tal som står i basen kommer exponenten att öka med 1. Exempelvis gäller det att 535=545^3\cdot5 = 54. På samma sätt kommer exponenten att minska med 1 om vi delar potensen med sin bas. Vad händer då om vi fortsätter att dela en potens med sin bas gång på gång? Exponenten kommer då att minska med 1 ett steg i taget ända tills den blir 0 och sedan negativ.

 53        52        51       50        51       52       53 \ 5^3 \ \ \ \ \ \ \ \ 5^2 \ \ \ \ \ \ \ \ 5^1 \ \ \ \ \ \ \ 5^0 \ \ \ \ \ \ \ \ 5^{-1} \ \ \ \ \ \ \ 5^{-2} \ \ \ \ \ \ \ 5^{-3}
125       25         5         1         15         125       1125125 \ \ \ \ \ \ \ 25 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{25} \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{125}

Här fortsätter vi att dela med 55 i varje steg. På samma sätt som 535^3 innebär att vi multiplicerat 55 tre gånger innebär 525^{-2} att vi har delat med 55 två gånger. Det gäller allmänt att

an=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

Övning 11

Beräkna följande potenser.

a) 525^{-2}

b) 343^{-4}

c) (2)3(-2)^{-3}

d) (12)1(\frac{1}{2})^{-1} 

e) (23)2-( \frac{2}{3})^{-2}


Övning 12

Skriv följande tal i potensform med minsta möjliga heltal som bas.

a) 6464

b) 15- \frac{1}{5}

c) 100100

e) 14\frac{1}{4}

f) 127- \frac{1}{27}


Som du säkert kan se är a0=1a^0 = 1 eftersom a1/ a=a0=1a^1 / \ a = a^0 = 1. Vilket tal som helst upphöjt till 00 blir alltså 11. Det finns endast ett undantag till denna regel och det är om a=0a = 0. I det här fallet fungerar inte logiken 01/ 0=000^1 / \ 0 = 0^0 eftersom vi aldrig kan dela ett tal med 00. Uttrycket 000^0 kallas vi därför för odefinierat då vi inte kan ange ett visst värde till den. Givet att a0a ≠ 0 gäller det dock allmänt att a0=1a^0 = 1.


Övning 13

Vad blir

462242511685 ?4^6 \cdot 2^{-24} \cdot 2^5 \cdot \dfrac{1}{16} \cdot 8^5 \ ?

Grundpotenform

Inom vetenskapen är det vanligt att vi arbetar med tal som kan vara både oerhört stora eller mikroskopiskt små. I vissa fall kan det vara så stora eller små att vårt vanliga talsystem inte är användbart för att beskriva dem. Försök att skapa dig en uppfattning hur långt det är till den närmaste stjärnan (40,208,000,000,00040,208,000,000,000 kilometer) eller hur liten som massan av en vattenmolekyl är (0.000,000,000,000,000,000,000,029,880.000,000,000,000,000,000,000,029,88 gram). För att lösa det här problemet brukar sådana extrema tal skrivas om på så kallat grundpotensform.

Grundpotensform innebär att ett tal skrivs på formen k10nk \cdot 10^n där nn är ett heltal och 1<k<101<k<10. Skriver vi om talen ovan i grundpotensform blir resultatet istället 4.020810134.0208\cdot10^{13} km respektive 2.998810232.9988\cdot10^{-23} gram. När talen är skrivna på denna form är det mycket enklare att arbeta med dem och jämföra deras storlekar. Lägg märke till att kk aldrig får vara mindre än 11 eller större än 1010. Vi skriver exempelvis inte talen ovanför som 402.081011402.08\cdot10^{11} eller 0.2998810220.29988\cdot10^{-22} när vi använder grundpotensform, även om dessa tal är matematiskt sätt lika stora.


Övning 14

Hur kan vi avgöra hur stor exponenten till talet 1010 ska vara när vi skriver om ett tal i grundpotensform?


Övning 15

Skriv om följande tal i grundpotensform.

a) 5050

b) 0.0070.007

c) 351,000,000351, 000, 000

d) 0.000,000,000,006,1920.000,000,000,006,192

e) 447.21029447.2 \cdot 10^{29}

f) 10273101510273\cdot 10^{-15}

g) 0.0014610540.00146 \cdot 10^{54}

h) 12240,000,000,000,000\frac{12}{240,000,000,000,000}


Övning 16

En mänsklig hjärncell väger i genomsnitt 11081 \cdot 10^{-8} gram medans massan av vår planet är ungefär 610216 \cdot10^{21} ton. Hur många gånger större är jordens massa jämfört med massan av en genomsnittlig mänsklig hjärncell?


1.6 När exponenten inte är ett heltal

Vi har tidigare sett hur exponenter både kan vara negativa och positiva tal, men resan slutar inte där. Vi nämligen använda oss av exponenter som inte är heltal med.

Låt oss ta potensen 31/23^{1/2} som exempel. Vad för värde har detta tal? Vi vet sen tidigare att am an=am + na^m \cdot \ a^n = a^{m \ + \ n}. Det måste därmed gälla att

31/2 31/2 = 31 = 33^{1/2} \cdot \ 3^{1/2} \ = \ 3^1 \ = \ 3

Talet 31/23^{1/2} är alltså det tal som multiplicerat med sig självt ger 33. På motsvarande sätt gäller det till exempel att 61/46^{1/4} är det tal som multiplicerat med sig självt fyra gånger är lika med 66. Genom prövning kan vi komma fram till att 31/21.7323^{1/2} ≈ 1.732. Decimalerna i 31/23^{1/2} slutar dock aldrig så vi kan inte skriva ut talet även om ville. Därför skriver vi bara 31/23^{1/2} och lämnar det så.

Inom matematiken är det väldigt vanligt att vi jobbar med tal upphöjt till 1/21/2. Vi har därför skapat en egen symbol för detta. Istället för att 31/23^{1/2} brukar vi vanligtvis skriva 3\sqrt{3}. Detta utläses som “kvadratroten ur 33” eller bara “roten ur 33”. Det gäller alltså att 33=3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3. Vi kan också välja att exempelvis skriva om 51/35^{1/3} till 53\sqrt[3]{5} vilket utläses som “kubikroten ur 55”. Vi sätter då en trea vid rottecknet för att markera att vi måste multiplicera 53\sqrt[3]{5} med sig självt tre gånger för att få 55. På motsvarande sätt kan 101/410^{1/4} skrivas som 104\sqrt[4]{10} eller 161/716^{1/7} som 167\sqrt[7]{16}. Detta utläses som “fjärde roten ur 1010” respektive “sjunde roten ur 1616”.

Det gäller allmänt att

a1/n=ana^{1/n} = \sqrt[n]{a}

och

ann=a\sqrt[n]{a^n} = a

Vill vi multiplicera 3\sqrt{3} med exempelvis 66 skriver vi detta som 636\sqrt{3}.


Övning 17

Beräkna följande uttryck.

a) 25\sqrt{25}

b) 643\sqrt[3]{64}

c) 100001/410000^{1/4}

d) 01/20^{1/2}

e) 81/38^{1/3}


Du kanske redan har insett att 33 inte är det enda tal som gånger sig självt blir 99. Talet 3-3 uppfyller det villkoret med. Vilket svar ska vi då ange om vi blir tillfrågade att räkna ut roten ur 99? Om inget annat nämns är det alltid den positiva roten som vi anger som lösning. En bra tumregel är vi alltid anger den positiva lösningen om rottecknet fanns med i instruktionen av problemet från första början. Om problemet däremot endast innehöll exponenter anger vi både den positiva och den negativa lösningen om en sådan finns.


Exempel 1

Vad är skillnaden mellan x2=25x^2=25 och x=25x=\sqrt{25}?

Lösning

I det första fallet är vår uppgift att hitta alla tal som gånger sig själva blir 2525, så xx kan vara antingen 55 eller 5-5. Vanligtvis skriver vi detta som x=±5x=\pm 5. I det andra fallet är lösningen bara x=5x=5 eftersom xx är roten ur 2525, vilket innebär att endast den positiva lösningen efterfrågas. Det här är bara ett exempel på vår regel att vi endast behöver ange den positiva lösningen om rottecknet redan fanns med i uppgiften från början.

Än så länge har vi bara undersökt potenser där täljaren i exponenten är 11. Men vi kan även ha potenser som 82/38^{2/3} med. Detta är lite krångligare men genom att använda oss av de exponentregler vi har tagit fram ovan kan vi lösa det.

82/3=81/3  2=(81/3)2=(2)2=48^{2/3} = 8^{1/3\ \cdot\ 2} = (8^{1/3})^2 = (2)^2 = 4

Vi börjar med att separera täljaren och nämnaren och skriva om exponenten som en produkt istället för ett bråk. Vi tar sedan basen upphöjt först till nämnaren och sedan till täljaren för att få svaret. Med lite övning kommer den här metoden att gå väldigt enkelt för dig!


Exempel 2

Beräkna följande uttryck.

a) 253/225^{3/2} 

b) 85/38^{5/3} 

c) 1634\sqrt[4]{16^3} 

d) 1003/2100^{-3/2} 

e) (1/81)3/4(1/81)^{-3/4} 

Lösning

a) 253/2=251/2  3=(251/2)3=(5)3=12525^{3/2} = 25^{1/2\ \cdot\ 3} = (25^{1/2})^3 = (5)^3 = \mathbf{125}

b) 85/3=81/3  5=(81/3)5=(2)5=328^{5/3} = 8^{1/3\ \cdot\ 5} = (8^{1/3})^5 = (2)^5 = \mathbf{32}

c) 1634=(163)1/4=163  1/4=(161/4)3=23=8\sqrt[4]{16^3} = (16^3)^{1/4} = 16^{3\ \cdot\ 1/4}= (16^{1/4})^{3} = 2^3 = \mathbf{8}

d) 1003/2=1001/2  (3)=(1001/2)3=103=1103=11000100^{-3/2} = 100^{1/2\ \cdot\ (-3)} = (100^{1/2})^{-3} = 10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \mathbf{\dfrac{1}{1000}}

e) (1/81)3/4=(811)3/4=(81)3/4=(81)1/4  3=(811/4)3=(3)3=27(1/81)^{-3/4} = (81^{-1})^{-3/4} = (81)^{3/4} = (81)^{1/4\ \cdot\ 3} = (81^{1/4})^3 = (3)^3 = \mathbf{27}


Övning 18

Beräkna följande.

a) (18)2/3\left( \frac{1}{8} \right)^{2/3}

b) (1000)2/3(\sqrt{1000})^{2/3}

c) (23)6(\sqrt[3]{2})^6


Övning 19

Vad blir följande?

a) 912739\cdot \dfrac{1}{27} \cdot \sqrt{3}

b) 71/3723727^{1/3} \cdot \sqrt[3]{7^2} \cdot 7^{-2}


Exempel 3

Mellan vilka två heltal ligger 72\sqrt{72}?

Lösning

72\sqrt{72} är det tal som gånger sig självt blir 7272. Provar vi att ta kvadraten av olika tal ser vi att 82=648^2 = 64 och 92=819^2 = 81, vilket är detsamma som 64=8\sqrt{64} = 8 och 81=9\sqrt{81} = 9. Vi kan alltså se att 72\sqrt{72} måste ligga mellan talen 8\mathbf{8} och 9\mathbf{9}.


Vad blir 23\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}? Svaret är faktiskt enklare än vad du kanske först tror. Det är bara 6\sqrt{6}. Att ta roten ur båda talen och sedan multiplicera dem är precis samma sak som att först multiplicera dem och sedan ta roten ur resultatet. Vi kan jämföra detta med uttrycket 74+34+64\frac{7}{4} + \frac{3}{4} + \frac{6}{4}. Att först dela alla tre talen med 44 och sedan addera dem ger samma resultat som om vi först hade adderat dem och sedan delat summan av dem med 44. Vilken ordning vi än utför beräkningen kommer varje term ändå att delas med 44 i slutändan. På samma sätt kommer vi ta roten ur både 22 och 33 vårt exempel ovan vare sig vi gör det innan eller efter multiplikationen. Vi kan också visa detta med följande uträkning:

 6 \sqrt{6}
23\sqrt{2\cdot3}
(23)1/2(2\cdot3)^{1/2}
21/231/22^{1/2} \cdot 3^{1/2}
23\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}

Övning 20

Beräkna följande.

a) 327\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}

b) 7213\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3}

c) 182\sqrt{\dfrac{1}{8}} \cdot \sqrt{2}

d) 53253\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}


Övning 21

Stämmer det att 5 73=35\sqrt{5} \ \sqrt[3]{7} = \sqrt{35}?


I många fall kan vi ofta förenkla ett uttryck med rottecken. Ta 8\sqrt{8} som exempel. Detta kan skrivas om till

81/2 = (222)1/2 = 22  1/2 21/2 = 228^{1/2}\ =\ (2^2 \cdot 2)^{1/2}\ =\ 2^{2\ \cdot\ 1/2}\cdot\ 2^{1/2}\ =\ 2\sqrt{2}

Vad vi gjorde här var att flytta ut de faktorer som inte nödvändigtvis måste vara under rottecknet. Istället för att ha 222^2 under rottecknet får vi 22 utanför rottecknet. Vi skriver nästan alltid om uttrycken på detta sätt för att minska antalet faktorer som står under rottecknet. Fördelen med detta är att det blir enklare att se vilka faktorer som uttrycket faktiskt är uppbyggt av. Genom att skriva om 8\sqrt{8} till 222\sqrt{2} kan vi direkt se att vi kan dela uttrycket jämnt med 22. Det var inte lika uppenbart innan när det var skrivet som 8\sqrt{8}.

Det enklaste sättet att förenkla ett uttryck med rottecken är att först skriva om talet som en produkt av mindre faktorer. Låt oss 96\sqrt{96} som exempel.

96 = (253)1/2 = (24)1/2(23)1/2 = 22(23)1/2 = 46\sqrt{96}\ =\ (2^5\cdot3)^{1/2}\ =\ (2^4)^{1/2}\cdot(2\cdot3)^{1/2}\ =\ 2^2\cdot(2\cdot3)^{1/2}\ =\ 4\sqrt{6}

När vi tar kvadratroten ur ett tal har det samma effekt som att vi delar alla exponenterna till talets faktorer med 22. Vi delar därför upp produkten av våra faktorer i två grupper. I den ena gruppen är alla faktorer upphöjda till den största möjliga exponent som är jämnt delbar med 22, och i den andra sorterar vi den del av exponenterna som blev över.

Om vi jobbar med kubikroten istället för kvadratroten gör vi på exakt samma sätt, men istället för att exponenterna i den ena gruppen ska vara delbara på 22 vill vi nu att de ska vara jämnt delbara på 33. Jobbar vi med sjunde roten ur behöver exponenterna istället vara delbara med 77, och så vidare.


Exempel 4

Förenkla följande uttryck.

a) 250\sqrt{250} (250=253)(250 = 2\cdot5^3)

b) 8643\sqrt[3]{864} (864=2533)(864 = 2^5\cdot3^3)

c) 11218754\sqrt[4]{\dfrac{112}{1875}} (112=247(112 = 2^4 \cdot 7, 1875=354)1875 = 3 \cdot 5^4)

Lösning

a) 250 = (253)1/2 = (52)1/2(25)1/2= 5(25)1/2=510\sqrt{250}\ =\ (2\cdot5^3)^{1/2}\ =\ (5^2)^{1/2}\cdot(2\cdot5)^{1/2} =\ 5\cdot(2\cdot5)^{1/2} = \mathbf{5\sqrt{10}}

b) 8643\sqrt[3]{864} (864=2533)(864 = 2^5\cdot3^3)

c) 11218754  =  (247354)1/4=  (2454)1/4 (73)1/4=   25(73)1/4 =  25734\sqrt[4]{\dfrac{112}{1875}}\ \ =\ \ \left( \dfrac{2^4 \cdot 7}{3 \cdot 5^4} \right)^{1/4} =\ \ \left( \dfrac{2^4}{5^4} \right)^{1/4} \cdot\ \left( \dfrac{7}{3} \right)^{1/4} =\ \ \ \dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{7}{3} \right)^{1/4}\ =\ \ \mathbf{\dfrac{2}{5} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{7}{3}}}