📝

Lektion 9: Mängder och venndiagram

📝Lektion 10: Kombinatorik

📝Lektion 8: Pythagoras sats


Lektionsöversikt


Ordlista


9.1 Introduktion till mängder

En mängd är en samling av objekt. Alla länder i Europa, alla positiva heltal eller alla objekt på ditt skrivbord är tre exempel på olika mängder. Inom matematiken skriver vi vanligtvis en mängd genom att placera alla objekt inom snirkliga parenteser och separera dem med komman. Mängden med alla udda siffror skrivs på alltså följande sätt:

{1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\}

Vissa mängder, som alla länder i Europa, är för långa för att skrivas ut på detta sätt. I dessa fall skriver vi detta istället som {xx : xx är ett land i Europa}. Även om detta är ett kortare sätt att uttrycka mängden på jämfört med att lista alla länder en i taget är det fortfarande mödosamt att hela tiden skriva {x:xx: x är ett land i Europa}. Detta kan vi lösa genom att namnge mängden. Vi skulle kunna definiera LL som mängden av alla Europas länder, och när vi än vill hänvisa till den mängden skriver vi bara LL istället för {xx : xx är ett land i Europa}. Alla vanligt förekommande typer av tal har redan färdiga namn som alltid är de samma eftersom vi hänvisar till dessa mängder så ofta. Varje sådan talmängd symboliseras av en stor, stiliserad bokstav.

N\mathbb{N} : Naturliga talen

Z\mathbb{Z} : Heltalen

Q\mathbb{Q} : Rationella talen

R\mathbb{R} : Reella talen

C\mathbb{C} : Komplexa talen

Vissa källor kommer säga att mängden med de naturliga talen N\mathbb{N} också innehåller siffran 00 medans andra inte kommer göra det. Det vanligaste är att 00 ingår i mängden N\mathbb{N}, men för att vara extra tydlig är det bra att skriva N0\mathbb{N}_0 eller N1\mathbb{N}_1 för att undvika förvirring.

Ett objekt i en mängd kallas för ett element. Exempelvis är 33 ett element i mängden {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\}. Om ett element xx tillhör mängden AA kan vi skriva detta som att xAx \in A. Om ett element y däremot inte tillhör mängden AA skriver vi det som att yAy \notin A. Vill vi säga att är xx ett reellt tal kan vi välja att uttrycka det i den kortfattade formen xRx \in \mathbb{R}.

Slutligen kan vi uttrycka antalet element i mängden AA som A|A|. Antalet element som mängden innehåller brukar oftast kallas för mängdens kardinalitet. Till exempel har mängden av alla Skandinaviens länder kardinaliteten 55 eftersom mängden består av de fem länderna Sverige, Norge, Finland, Danmark och Island. Ibland betecknas även kardinaliteten av en mängd AA som n(A)n(A) men A|A| är det vanligaste sättet att skriva det på.

9.2 Delmängder

Om alla element i mängden BB även finns i mängden AA säger vi att BB är en delmängd till AA. Detta skriver vi som att BAB \subseteq A. Det gäller alltså att {3,1}{1,3,5,7,9}\{3, 1\} \subseteq \{1, 3, 5, 7, 9\}. En mängd är bara en samling av objekt så ordningen vi listar dem i spelar ingen roll. Eftersom en mängd AA innehåller alla element i AA gäller det allmänt att AA är en delmängd till sig själv.

En mängd inte innehåller några element alls kallas för den tomma mängden och den betecknas som {}\{ \} eller, mer vanligtvis, med symbolen \varnothing. Den tomma mängden är en delmängd till alla andra mängder som finns.


Övning 1

Hur många delmängder det finns det av {grön, gul}?


Övning 2

Hur många delmängder det finns det av {grön, gul, blå}?


Övning 3

Hur många delmängder det finns det av {grön, gul, blå, röd}?


Kan du se mönstret från övningarna ovan? Det gäller allmänt att om mängden AA innehåller nn element så finns det 2n2^n delmängder till AA. Förklaringen till detta är att varje element ger oss två valmöjligheter när vi ska skapa en delmängd; vi kan antingen välja att ta med elementet eller inte. En mängd som {grön} som bara innehåller ett element ger oss två delmängder: {grön} och \varnothing. Men om vi nu adderar elementet gul till mängden kommer antalet delmängder att dubbleras. För varje delmängd vi redan hade kan vi skapa ytterligare en ny delmängd genom att lägga till elementet gul. På detta sätt fortsätter antalet delmängder att dubbleras för varje nytt element vi adderar till mängden.

9.3 När olika mängder kombineras

Låt oss säga att vi har två mängder A och B så att A={2,4,5,9,12}A = \{2, 4, 5, 9, 12\} och B={1,2,5,11}B = \{1, 2, 5, 11\}. Slår vi ihop båda mängder får vi {1,2,4,5,9,11,12}\{1, 2, 4, 5, 9, 11, 12\}. Ett element får endast förekomma en gång i en mängd så vi tar bort alla dubbletter. Den nya mängden vi har skapat kallas för unionen av A och B vilket vi skriver som ABA \cup B. Antalet element i unionen av AA och BB kan vi uttrycka med AB|A \cup B|.


Övning 4

Hitta ABA \cup B om

a) A=A = {Henrik, Camilla, Didrick}, BB = {Albert, Lina, Camilla}

b) A={2,6,1,5}, B={5,3,6,4}A = \{2, 6, 1, 5\}, \ B = \{5, 3, 6, 4\}


Övning 5

Om mängderna AA och BB innehåller fyra respektive nio element och de har två element gemensamt, hur många element finns det i unionen ABA \cup B?


Säg att vi nu skapar en ny mängd som endast består av de element som finns i både AA och BB. De enda element som de två mängderna har gemensamt är 22 och 55 så den nya mängden blir bara {2,5}\{2, 5\}. Detta kallas för snittet av AA och BB och skrivs som ABA \cap B.


Övning 6

Hitta snittet av {0,2,4,6,8}\{0, 2, 4, 6, 8… \} och {xx : xx är en multipel av 99}.


Om vi istället vill eliminera alla element som mängden AA har gemensamt med mängden BB skriver vi detta som ABA-B. Vi kan säga att ABA-B är mängden av alla element som finns i AA bortsett från de som också finns i BB. Ibland används även A \ BA \ \backslash{} \ B istället för att beteckna alla element i AA bortsett från de som också finns i BB, men ABA-B är den noteringen som vi kommer att använda i den här lektionen.


Övning 7

Beräkna följande.

a) {8,3,4,10,5}{2,7,9,3,8}\{8, 3, 4, 10, 5\} - \{2, 7, 9, 3, 8\}

b) {12,9,5,10,0}({2,11,9,1,8}{5,1,2,3,8})\{12, 9, 5, 10, 0\} - (\{2, 11, 9, 1, 8\} \cup \{5, 1, 2, 3, 8\})


Övning 8

Visa att det gäller allmänt att

A+BAB=AB|A| + |B| - |A \cap B| = |A \cup B|

En till mängd som är bra att känna till är den universella mängden, vilket är den mängd som innehåller samtliga element som behandlas i en viss situation. Om vi har de två mängderna {6,2,7}\{-6, 2, 7\} och {4,5,2}\{4, -5, 2\} är den universella mängden Z\mathbb{Z}, det vill säga alla heltal. Har vi istället två mängder där elementen är alla svenskar som tycker om att spela fotboll respektive att lyssna på popmusik är den universella mängden Sveriges befolkning. Den universella mängden betecknas vanligtvis med ett stort UU.

Mängden som består av alla element som inte finns i mängden A kallas för komplementet till A och betecknas med ACA^C. Det gäller alltså att AAC=UA \cup A^C = U. Vi kan också uttrycka detta som UAC=AU - A^C = A.


Övning 9

Vad är UCU^C?


9.4 Venndiagram

Ett väldigt bra sätt att illustrera mängder är genom att använda så kallade venndiagram. Tanken är att vi representerar varje mängd som en cirkel som befinner sig inom en större rektangel som representerar den universella mängden. Området som är utanför cirkel AA är alltså komplementet till AA.

Snittet mellan två mängder AA och BB illustrerar vi med det område där cirklarna AA och BB överlappar med varandra. Unionen mellan mängderna är hela området som befinner sig inom cirklarna.

Venndiagram är till särskilt stor hjälp när vi har tre olika mängder samtidigt att hålla reda på. Varje mängd blir en egen cirkel och vi kan lätt placera in elementen beroende på vilka mängder de hör till och inte.


Övning 10

Rita ett venndiagram som beskriver

a) mängden ABCA \cap B^C.

b) mängden (AB)C(A \cup B) \cap C.

c) mängden AC(BC)A^C \cap (B \cap C).


Venndiagram är ett väldigt användbart verktyg när vi ska lösa problem där vi har element som kan höra höra till flera mängder samtidigt. Ibland är det svårt att hålla koll på alla kategorier av element i huvudet, men genom att representera dem visuellt genom ett sådant diagram kan vi mycket lättare hålla koll på våra beräkningar och därmed lösa problemet snabbare. När vi jobbar med venndiagram är det alltid lättast att börja med det område som består av flest överlappningar och sedan jobba oss successivt utåt. Om vi exempelvis bara vet att det finns 100100 element mängden AA och 5050 element i mängden BB vet vi inte hur vi många element vi ska sätta i det område som bara består av AA, bara av BB eller både AA och BB eftersom vi inte vet hur många element de två mängderna har gemensamt. Om vi däremot vet att AA och BB har 3030 gemensamma element kan vi börja med att sätta talet 3030 i område där AA och BB överlappar. Antalet element som bara finns i AA är då 10030=70100 - 30 = 70 och antalet element som bara finns i BB är 5030=2050 - 30 = 20. Genom att börja med det område som består av flest överlappningar minskar vi risken att vi räknar en mängd mer än en gång.


Exempel 1

Av 10001000 personer har 3535 högt blodtryck. 8080%% av dem med högt blodtryck dricker alkohol och 6060% av dem utan högt blodtryck dricker alkohol. Hur stor andel (uttryck i bråkform) av dem som dricker alkohol har högt blodtryck?

PQ distriksfinal 2010, del 1 problem 6

Lösning

Vi har två kriterier som vi kan sortera in personer på: alkohol och högt blodtryck. Vi kan illustrera detta med ett venndiagram. Låt cirkel AA representera mängden personer som dricker alkohol och BB representera mängden med högt blodtryck.

Eftersom 8080% av de 3535 personer med högt blodtryck dricker alkohol är AB=0.835=28|A \cap B| = 0.8 \cdot 35 = 28. Antalet personer som finns i mängden BB men inte i AA, de med högt blodtryck som inte dricker alkohol, är därmed 3528=735 - 28 = 7. Det finns totalt 100035=9651000 - 35 = 965 personer som inte har högt blodtryck. Av dessa personer är det 0.6965=5790.6 \cdot 965 = 579 av dem som dricker alkohol. Dessa personer tillhör det område som består av cirkel AA men inte cirkel BB då de inte har högt blodtryck. Antalet personer som varken dricker alkohol eller har högt blodtryck är 1000579728=3861000-579-7-28=386. Vi har nu tillräckligt med information för att fylla i hela venndiagrammet.

Det totala antalet personer som dricker alkohol är 579+28=607579 + 28 = 607. Andelen personer som har högt blodtryck av de som dricker alkohol är därmed 28607\mathbf{\frac{28}{607}}. Som du säkert märker var det inte nödvändigt att vi räknade ut antalet personer som varken har högt blodtryck eller dricker alkohol då den informationen inte behövdes för att lösa uppgiften. I den här fallet valde vi att ta fram den informationen ut det för att visa hur det kompletta venndiagrammet skulle se ut. När du själv löser uppgifter bör du dock inte lägga ned tid på att räkna ut sådant som inte är nödvändigt. Identifiera först vilken information du behöver för att lösa uppgiften och strunta i allt annat.


Övning 11

I en undersökning fick klass 9B svara ja eller nej på om de tyckte om ämnena bild, matte och geografi. Resultatet från undersökning var följande:

Totalt går det 2929 elever i 9B. Rita ett venndiagram som beskriver hur många elever som tycker om vardera ämne.


Exempel 2

På Malmö Borgarskolas populära ”Sommarskola med matematik och idrott” spelar 6060% av deltagarna fotboll och 3030% av deltagarna simmar. Dessutom simmar 4040% av fotbollsspelarna. Hur stor andel av de som inte simmar spelar fotboll?

Pythagoras Quest, riksfinal 2015, del 1 problem 4

Lösning

Antalet ungdomar som spelar fotboll av de som inte simmar är detsamma som antalet ungdomar som endast spelar fotboll. Eftersom 4040% av fotbollsspelarna simmar är det 0.60.4=240.6 \cdot 0.4 = 24% av ungdomarna som utövar båda sporter. Det är alltså 6060% - 2424% == 3636% av ungdomarna som endast spelar fotboll. Vidare är det 7070% ungdomar som inte simmar. Det följer därmed att andelen ungdomar som tränar löpning av de som inte tränar längdhopp är 3670\mathbf{\frac{36}{70}}.


Övning 12

I Fagervik bor 351351 körkortsinnehavare. Varje körkortsinnehavare äger antingen en bil eller en motorcykel eller både och. Det finns 331331 bilägare och 4545 motorcykelägare i Fagervik. Hur många av bilägarna äger inte en motorcykel?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2012, del 1 problem 2


Problem att lösa för Lektion 9

1. Vilka av följande påståenden är alltid sanna?

a) AZA \subseteq \mathbb{Z} om 2.5A2.5 \in A.

b) AZA \subseteq \mathbb{Z} om 2,3,10A2, 3, 10 \in A.

c) {6,8,11}{1,5,11}{11,6,9,8}\{6, 8, 11\} \subseteq \{1, 5, 11\} \cup \{11, 6, 9, 8\}.

d) A=BA = B om AB=A - B = \varnothing.

e) (ACBC)(AB)=U(A^C \cup B^C) \cup (A \cap B) = U

2. Vilka mängder XX finns det som uppfyller {4,6,7}X{2,3,4,5,6,7}\{4, 6, 7\} \subseteq X \subseteq \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}?

3. Bland eleverna på Malmö Borgarskola är det lika många flickor som pojkar. Några av elever åker på utflykt till partikelacceleratorn CERN. Med på utflykten är två tredjedelar av alla skolans flickor samt tre fjärdedelar av alla skolans pojkar. Hur stor andel av de som åkte på utflykt var flickor?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2017, del 2 problem 6

4. På ett djurhem utanför stan tar man emot hundar och katter. Några av djuren är lekfulla och några av dem har mörk päls. Låt HH vara mängden hundar, LL vara mängden lekfulla djur och MM vara mängden djur med mörk päls.

Skriv beteckningar för följande mängder och skugga mängden i ett venndiagram:

a) Hundar med mörk päls.

b) Katter som inte är lekfulla.

c) Hundar som har mörk päls eller är lekfulla.

d) Ljusa hundar av de djur som inte är lekfulla.

e) Lekfulla katter av de djur med ljus päls.

5. I ett villaområde finns det 100100 hus med 100100 familjer. Några har inga barn, några har flickor, andra har pojkar och en del har både pojkar och flickor. I 6262 av husen bor det flickor och i 5959 av husen bor det pojkar. Det finns dubbelt så många hus med både pojkar och flickor som det finns hus utan barn. I hur många hus bor det pojkar men inga flickor?

Pythagoras Quest, riksfinal 2011, del 3

6. På en klinik specialiserar man sig på att behandla rökning och alkoholism. Tio procent av alkoholisterna röker för mycket och 2020% av rökarna dricker för mycket. 9898 patienter är inskrivna på kliniken. Hur många behandlas för både alkoholmissbruk och rökning?

Pythagoras Quest, riksfinal 2013, del 1 problem 6

7. I Borgarskolans val deltog alla skolans elever. Alla som röstade på Partiet Lars tycker om Lars. Bland dem som röstade på de övriga partier tycker 2020% ändå om Lars (pga att han är duktig i matte). Hur många procent av rösterna fick Partiet Lars i valet om 5252% av alla Borgarskolans elever tycker om Lars?

Pythagoras Quest, riksfinal 2016, del 2 problem 4

8. Hundra elever gick på minst en av tre konserter: Pep Band, Country Sizzle, och Blue Mood. 4848 gick på Pep Band konserten, 3636 gick på Country Sizzle konserten, 6060 gick på Blue Mood konserten, 1212 gick både på Pep Band och Country Sizzle konserten, 2020 gick både på Country Sizzle och Blue Mood konserten, 1616 gick både på Pep Band och Blue Mood konserten. Hur många gick på alla tre konserterna?

Pythagoras Quest, riksfinal 2014, del 3

9. Antalet elever i en gymnasieskola är 13001300. Vissa elever sjunger i skolkören, medan somliga elever tränar friidrott. En fjärdedel av dem som tränar friidrott sjunger även i kören, medan andelen elever som tränar friidrott bland dem som sjunger i kören är fyra gånger så stor som andelen elever som tränar friidrott bland dem som inte sjunger i kören. Hur många elever sjunger i skolans kör?

Skolornas Matematiktävling, kvalificering 2011/2012, problem 2

Lösningar

1. a) Om 2.52.5 tillhör mängden AA är det omöjligt att AA kan vara en delmängd till Z\mathbb{Z} som är mängden av alla heltal. Påståendet är därmed falskt.

b) Från informationen i uppgiften vet vi endast att 22, 33 och 1010 är tre element i AA men vi vet inte vilka andra element som AA innehåller. Påståendet är därmed inte alltid sant men det skulle kunna vara det.

c) Unionen av mängderna {1,5,11}\{1, 5, 11\} och {11,6,9,8}\{11, 6, 9, 8\} är {1,5,6,8,9,11}\{1, 5, 6, 8, 9, 11\}. Denna mängd innehåller alla element som finns i {6,8,11}\{6, 8, 11\}. Påståendet är därmed sant.

d) Om AB=A - B = \varnothing innebär det att alla element som finns i AA också finns i BB. Men det är möjligt att BB även innehåller fler element än bara de som finns i AA. Påståendet är därmed inte alltid sant men det skulle kunna vara det.

e) Unionen av komplementen till AA och BB är lika med den universella mängden minus de element som finns i snittet av AA och BB. Lägger vi dock till snittet kommer vi att täcka in alla element som finns i den universella mängden. Påståendet är därmed sant.

2. Det finns 88 mängder som XX skulle kunna anta:

{4,6,7},{2,4,6,7},{3,4,6,7},{4,5,6,7},{2,3,4,6,7},{2,4,5,6,7},{3,4,5,6,7}\{4, 6, 7\}, \{2, 4, 6, 7\}, \{3, 4, 6, 7\}, \{4, 5, 6, 7\}, \{2, 3, 4, 6, 7\}, \{2, 4, 5, 6, 7\}, \{3, 4, 5, 6, 7\} och {2,3,4,5,6,7}\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}.

3. Låt xx vara antalet elever på skolan. Antalet flickor som åkte på utflykten var då 23x2=x3\frac{2}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{3} och antalet pojkar som åkte var 34x2=3x8\frac{3}{4} \cdot \frac{x}{2} = \frac{3x}{8}. Andelen flickor som följde med på utflykten var således

x3x3+3x8=\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\dfrac{x}{3} + \dfrac{3x}{8}} =
x38x24+9x24=\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\dfrac{8x}{24} + \dfrac{9x}{24}} =
x317x24=\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\dfrac{17x}{24}} =
8x17x=\dfrac{8x}{17x} =
817\mathbf{\dfrac{8}{17}}

4.

a) HMH \cap M.

b) HCLH^C - L eller HCLCH^C \cap L^C.

c) H(ML)H \cap (M \cup L).

d) HMLH - M - L eller (HMC)LC(H \cap M^C) \cap L^C.

e) LHML - H - M eller (HCL)MC(H^C \cap L) \cap M^C.

5. Låt det finnas xx hus med både pojkar och flickor. Det följer då att

62+59x+x2=10062 + 59 - x + \dfrac{x}{2} = 100
x2=21\dfrac{x}{2} = 21
x=42x = 42

Det finns alltså 5942=1759 - 42 = \mathbf{17} hus utan barn.

6. Låt xx vara antalet personer som både röker och dricker för mycket. Det följer då att 9x9x patienter endast dricker för mycket och 4x4x patienter endast röker för mycket. Detta ger oss

9x+4x+x=989x + 4x + x = 98

Det finns alltså x=7x=\mathbf{7} patienter som både behandlas för alkoholmissbruk och rökning.

7. Låt xx vara andelen elever i procent som röstade på Lars så att andelen elever i procent som inte röstade på honom var 100x100-x. Då 15\frac{1}{5} (2020%) av de som röstade övriga partier tycker om Lars innebär det att 45\frac{4}{5} av de som röstade på övriga partier inte tycker om Lars. Vi vet att andelen elever som inte tycker om Lars är 10052=48100-52=48 procent, så det gäller därmed att

45(100x)=48\frac{4}{5} \cdot (100-x)=48

Löser vi ut xx kommer vi fram till att Partiet Lars fick 40\mathbf{40}% av rösterna.

8. Låt PBPB, CSCS och BMBM vara mängden personer som gick på Pep Band, Country Sizzle och Blue Mood konserten. Det gäller då att

PB+CS+BMPBCSCSMBMBPB+PBCSMB=100|PB| + |CS| + |BM| - |PB \cap CS| - |CS \cap MB| - |MB \cap PB| \\ + |PB \cap CS \cap MB| = 100
48+36+60122016+PBCSMB=10048 + 36 + 60 - 12 - 20 - 16 + |PB \cap CS \cap MB| = 100
PBCSMB=4|PB \cap CS \cap MB| = 4

Det var alltså 4\mathbf{4} personer som gick på alla tre konserter.

9. Låt f vara antalet elever som tränar friidrott och låt kk vara antalet elever som sjunger i kören. Låt även xx beteckna antalet elever som både sjunger i kören och tränar friidrott. De givna villkoren kan då skrivas som

x=f4,     xk=4fx1300k.x = \dfrac{f}{4}, \ \ \ \ \ \dfrac{x}{k} = 4 \cdot \dfrac{f − x}{1300 − k}.

Vi har alltså att f=4xf = 4x. Detta innebär att

xk=4(4xx)(1300k)\dfrac{x}{k} = \dfrac{4(4x − x)}{(1300 − k)}
xk=12x1300k\dfrac{x}{k} = \dfrac{12x}{1300-k}
1k=121300k\dfrac{1}{k} = \dfrac{12}{1300-k}
1300k=12k1300-k = 12k
k=100k = 100

Det finns alltså 100\mathbf{100} elever som sjunger i skolans kör.


📝Lektion 10: Kombinatorik

📝Lektion 8: Pythagoras sats