📝

Lektion 8: Pythagoras sats

📝Lektion 9: Mängder och venndiagram

📝Lektion 7: Faktoriseringar och förenklingar - fortsättning


Lektionsöversikt


Ordlista


I den här lektionen kommer vi bekanta oss med Pythagoras sats. Den var beskriven redan i antikens Grekland av matematikern och filosofen Pythagoras. Satsen beskriver förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Satsen används flitigt i diverse tävlingsproblem och är ett bra ess i rockärmen ofta i uppgifter gällande sidlängder i rätvinkliga trianglar. Nedan hittar du bl.a satsens definition, bevis och några övningsuppgifter till ämnet. Låt oss börja!

8.1 Rätvinklig trianglar och Pythagoras sats

En rätvinklig triangel är, som namnet avslöjar, en triangel med en rät vinkel. I en rätvinklig triangel kallar vi sidorna som bildar den räta vinkeln för kateter (katet i singular) och sidan motsatt den räta vinkeln för hypotenusa. Vi illustrerar detta i bild 1 nedan där vi har en rätvinklig triangel ABCABC med rät vinkel i CC med kateterna ACAC och BCBC samt hypotenusan ABAB.

Notera att hypotenusan är den längsta sidan i triangeln då den är motsatt den största vinkeln.

Pythagoras sats definieras som följande: För en rätvinklig triangel ABCABC med rät vinkel i CC gäller

(AC)2+(BC)2=(AB)2(AC)^2+(BC)^2=(AB)^2
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Vi kan uttrycka detta som att i en rätvinklig triangel är summan av kateterna i kvadrat är lika med hypotensan i kvadrat.

Ett exempel av Pythagoras sats är triangeln nedan.

I denna triangel säger Pythagoras sats att:

42+32=524^2+3^2=5^2

vilket ger 25=2525=25 och ekvationen håller.

8.2 Bevis av Pythagoras sats

Nedan följer två vanligt förekommande resonemang för att bevisa att Pythagoras sats stämmer.

1) Bevis med areor

Det troligtvis enklaste sättet att bevisa Pythagoras sats är att rita upp fyra rätvinkliga trianglar med kateterna aa och bb och hypotenusan cc, och sedan placera dem inuti en kvadrat med sidan (a+b)(a+b).

I bilden ovan ser vi två olika sätt som vi kan arrangera de fyra rätvinkliga trianglarna inuti kvadraten. Trianglarna måste täcka upp lika stor yta av kvadraten hur vi än arrangerar dem, så det vita området måste vara lika stort i båda fallen. Därmed följer det att

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

och Pythagoras sats är bevisad.

Vi kan uttrycka detta resonemang i mer matematiska termer med. Kvadratens area kan skrivas som antingen som produkten av dess sidor, (a+b)(a+b)(a+b)(a+b), eller som summan av de fyra rätvinkliga trianglen och den mindre kvadraten med sidan cc, dvs 4ab2+c24\cdot \frac{ab}{2} + c^2. Det gäller då att:

(a+b)(a+b)=4ab2+c2(a+b)(a+b) = 4\cdot \frac{ab}{2} + c^2
a2+2ab+b2=2ab+c2a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2
a2+b2=c2a^2+b^2 = c^2

2) Bevis med likformiga trianglar

Det första resonemanget använder sig av likformiga trianglar. Vi betraktar den rätvinkliga triangeln ABCABC. Vi har nu lagt till höjden CDCD.

Vi noterar nu att trianglarna ACDACD och ABCABC är likformiga, samt att trianglarna CBDCBD och ABCABC är likformiga. Kontrollera gärna själv att det stämmer! (Tips: Vad krävs för att två trianglar ska vara likformiga? Leta vinklar!).

Ur den första likformigheten får vi förhållandet:

ACAB=ADAC    AC2=ABAD\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC} \implies AC^2= AB\cdot AD

respektive

BCAB=BDBC    BC2=ABBD\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC} \implies BC^2= AB\cdot BD

Vi summerar detta och får

AC2+BC2=ABAD+ABBD=AB(AD+BD)=ABAB=AB2AC^2+BC^2=AB\cdot AD+AB\cdot BD=AB(AD+BD)=AB\cdot AB=AB^2

och Pytagoras sats är därmed bevisat.

Den omvända satsen

Det är också intressant att notera att omvändningen till Pythagoras sats är sann, dvs om vi har tre positiva heltal aa, bb och cc för vilka a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 så utgör de sidorna i en rätvinklig triangel.

Vi kan bevisa detta genom att rita en triangel med sidorna aa, bb och cc för vilka det gäller att a2+b2=c2a^2+b^2=c^2. Vi konstruerar nu en till rätvinklig triangel med sidorna aa, bb och dd. För den nya triangeln gäller enligt Pythagoras sats a2+b2=d2a^2+b^2=d^2. Vi har då att a2+b2=c2=d2a^2+b^2=c^2=d^2 dvs c=dc=d (kom ihåg att sidolängder är positiva). Vi har alltså två trianglar med samma sidolängder, dvs de är kongruenta. Alltså är triangeln med sidorna aa, bb och cc rätvinklig.

8.3 Pythagoras sats i problemlösning

Pythagoras sats är en av de mest användbara satserna som finns i problemlösning eftersom vi endast behöver veta längden av två av sidorna i en rätvinklig triangel för att kunna beräkna längden av den tredje sidan med. Vi kan även använda den omvända satsen för att bevisa att en triangel är rätvinklig om de tre sidorna i triangel aa, bb och cc uppfyller villkoret a2+b2=c2a^2+b^2=c^2.


Övning 1

Beräkna xx i triangeln nedan.


Övning 2

En man går 44 meter norrut, 88 meter österut och sedan 77 meter norrut igen. Hur långt har han förflyttat sig från sin startpunkt?


Övning 3

I figuren nedan är sidan ABAB dubbelt så lång som BCBC och ACDEACDE är en kvadrat med arean 6464. Vad är arean av triangeln ABCABC?


Ett vanligt misstag som många elever gör när de jobbar med Pythagoras sats är att blanda ihop (a+b)2(a+b)^2 med a2+b2a^2+b^2. Dessa uttryck är inte lika stora! Det första är lika med a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 vilket är 2ab2ab större än a2+b2a^2+b^2. Vi kan illustrera detta med hjälp av följande figur. Här kan vi se att (a+b)2(a+b)^2 är arean av hela kvadraten medans a2+b2a^2+b^2 bara är arean av det vita omårdet.

Har vi uttrycket (a+b)2(a+b)^2 kan vi ta roten ur detta och få a+ba+b. Det kan vi dock inte göra med a2+b2a^2+b^2.

(a+b)2=a+b\sqrt{(a+b)^2} = a+b
a2+b2a+b\mathbf{\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b}

Se till att du verkligen förstår detta så att du inte begår detta misstag själv.

8.4 Pythagoreiska tripplar

En pythagoreisk trippel är tre heltal xx, yy och zz som uppfyller Pythagoras sats, dvs att:

x2+y2=z2x^2+y^2=z^2

En pythagoreisk trippel är alltså tre heltal som utgör sidlängderna i en rätvinklig triangel. Några vanliga pythagoreiska tripplar som kan komma upp i tävlingsproblem är (3,4,5)(3,4,5) och (5,12,13)(5,12,13). Vi har också tripplarna (8,15,17)(8,15,17) och (7,24,25)(7,24,25). Stöter du på ett problem med trianglar och där två sidor i figuren har längderna 77 och 2525 är chansen alltså stor att det finns en rätvinklig triangel med sidorna 77, 2424 och 2525. Det är bra att känna till dessa fyra pythagoreiska tripplar för de dyker upp väldigt ofta i problem. Om två av talen i en sådan trippel är det en stark ledtråd till att vi kan använda Pythagoras sats för att lösa uppgiften.

Dessa fyra tripplar kan också förlängas om vi multiplicerar alla talen med samma heltal. Till exempel är (6,8,10)(6, 8, 10) en förlängning av (3,4,5)(3,4,5) och (10,24,26)(10, 24, 26) är förlängning av (5,12,13)(5, 12, 13). I båda fall har vi här multiplicerat alla de tre talen med 22. Detta kan liknas till att vi ritar en triangel med samma mått som den urspungliga trippeln och sedan förlänger alla sidor i triangeln till det dubbla. De fyra pythagoreiska tripplarna (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) och (7,24,25)(7,24,25) är så kallade unika tripplar då de inte kan förkortas ytterligare utan att talen slutar vara heltal.

Det finns i själva verket oändligt många pythagoreiska tripplar och de kan generellt skrivas

x=k(m2n2)y=2kmnz=k(m2+n2)x=k(m^2-n^2) \\ y=2kmn \\ z=k(m^2+n^2)

där kk, mm och nn är naturliga tal och m>nm>n.

Beviset till detta består av två delar: tillräcklighet (att dessa trippar uppfyller definitionen) samt nödvändighet (att alla tripplar som uppfyller definitionen skrivs på den formen). Just nu nöjer vi oss med den första delen, att konstatera att sådana x,y,zx,y,z uppfyller definitionen, och lämnar den andra delen till en framtida lektion:

x2+y2=(k(m2n2))2+(2kmn)2x^2+y^2= (k(m^2-n^2))^2+(2kmn)^2
x2+y2=k2((m2n2)2+4(mn)2)x^2+y^2= k^2((m^2-n^2)^2+4(mn)^2)
x2+y2=k2(m42(mn)2+n4+4(mn)2)x^2+y^2=k^2(m^4-2(mn)^2+n^4+4(mn)^2)
x2+y2=k2(m4+2(mn)2+n4)x^2+y^2=k^2(m^4+2(mn)^2+n^4)
x2+y2=(k(m2+n2))2x^2+y^2=(k(m^2+n^2))^2
x2+y2=z2x^2+y^2=z^2

vilket skulle visas.

Problem att lösa för Lektion 8

1. I figuren nedan är AC=24AC = 24 och CE=7CE = 7. Vidare är triangeln ABCABC likformig med CDECDE. Hur lång är sträckan AEAE? (OBS! Figuren är inte skalenligt ritad).

Pythagoras Quest distriktsfinal 2016, del 2 problem 4

2. Bestäm höjden hh och sträckan xx i triangeln nedan. (OBS! Figuren är ej skalenlig!)

Pythagoras Quest riksfinal 2009, del 2 problem 5

3. Ett rep fästs i ena änden av ett 1212 meter långt cylinderformat rör. Repet viras fyra varv runt röret och avslutas vid rörets andra ände. Om rörets omkrets är 44 meter hur långt är då det kortaste rep som kan användas?

PQ riksfinal 2008, del 3 problem 6

Lösningar

1. Kommer du ihåg den Pythagoreiska trippeln (7,24,25)(7, 24, 25)? Den här uppgiften innehåller två av dessa tal så sannolikheten att Pythagoras sats ska användas är väldigt stor. Låt oss dra sträckan AEAE i figuren.

Om triangeln ACEACE var rätvinklig skulle vi kunna använda Pythagoras sats för att räkna ut längden av AEAE. Men eftersom CAB+ACB=90\angle{CAB} + \angle{ACB}=90^{\circ} och CAB=DCE\angle{CAB} = \angle{DCE} följer det att:

DCE+ACB=C=90\angle{DCE}+ \angle{ACB}=\angle{C}=90^{\circ}

Alltså är triangeln ACEACE rätvinklig! Det följder då att:

242+72=(AE)224^2+7^2=(AE)^2
625=AE\sqrt{625}=AE
25=AE\mathbf{25=AE}

2. Lägg märke till att sidorna i triangeln uppfyller Pythagoras sats (62+82=102)(6^2+8^2=10^2). Det innebär att den stora triangeln är rätvinklig. Låt oss införa följande beteckningar:

Alla tre trianglarna ABCABC, ABDABD och BCDBCD är likformiga. Det följder då att:

ACBC=BCCD\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}
106=6x\frac{10}{6}=\frac{6}{x}
x=3.6x = 3.6

och att

ACAB=BCBD\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{BD}
108=8h\frac{10}{8}=\frac{8}{h}
h=4.8h=4.8

Svaret är därmed att x=3.6\mathbf{x=3.6} och h=4.8\mathbf{h=4.8}.

3. Vi börjar med att klippa upp cylindern längs höjden. Vi får då en rektangel med en bredd som motsvarar rörets omkrets (44 meter) och en längd på 1212 meter. Varje diagonal sträcka i bilden motsvarar repet som vi har lindat runt röret.

Låt oss föreställa oss att röret stod upp när vi snurrade repet runt det. Om vi lindar repet ett varv runt röret så att vi avslutar 33 meter högre upp än vad vi började har vi "förflyttat" änden av repet 44 meter sidleds och 33 meter uppåt. För detta krävs det 42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5 meter rep. Om vi utvidgar detta resonemang till problemet vi ska lösa kan vi se det som att vi har förflyttat änden av repet 44=164 \cdot 4 =16 meter i sidleds (fyra varv gånger omkretsen på 44 meter) och 1212 meter uppåt. Det kortsate repet som kan användas för detta är

162+122=(24)2+(223)2=28+2432=24(24+32)=2224+32=425=100 meter\sqrt{16^2+12^2}= \\ \sqrt{(2^4)^2+(2^2 \cdot 3)^2}= \\ \sqrt{2^8+2^4\cdot3^2} = \\ \sqrt{2^4(2^4+3^2)} = \\ 2^2\sqrt{2^4+3^2} = \\ 4 \sqrt{25} = \\ \mathbf{100 \ \textbf{meter}}

📝Lektion 9: Mängder och venndiagram

📝Lektion 7: Faktoriseringar och förenklingar - fortsättning