📝

Lektion 7: Faktoriseringar och förenklingar - fortsättning

📝Lektion 8: Pythagoras sats

📝Lektion 6: Talbaser


Lektionsöversikt


Ordlista


Tidigare har vi lärt oss hur man kan förenkla uttryck genom att faktorisera. Till exempel kan man faktorisera uttrycket ab+acab+ac som a(b+c)a(b+c). Nu ska vi titta lite mer på faktoriseringar, och hur vi kan använda oss av dem.

Det är viktigt att hålla koll på begreppen term och faktor. I uttrycket (a+b+c)(dx+ex)(a+b+c)(dx+ex) är (a+b+c)(a+b+c) och (dx+ex)(dx+ex) två faktorer, eftersom de multipliceras ihop för att få hela uttrycket. En faktor kan vara uppbyggd av flera termer som adderas ihop. Tex består faktorn (dx+ex)(dx+ex) av termerna dxdx och exex. Dessa termerna består i sin tur av faktorerna dd och xx, och faktorerna ee och xx.

Vi ska också påminna oss om att vi kan utveckla en produkt av två parenteser genom att betrakta den ena parentesen som en variabel och multiplicera in den i den andra. (a+b+c)(dx+ex)(a+b+c)(dx+ex) utvecklas till ((a+b+c)dx+(a+b+c)ex)((a+b+c)dx+(a+b+c)ex), vilket vi kan utveckla vidare till (adx+bdx+cdx)+(aex+bex+cex)(adx+bdx+cdx)+(aex+bex+cex). När man utvecklar parenteser kan det också hjälpa att tänka på faktorerna som sidor i en rektangel, så som vi gjorde i föregående lektion. Som vi kommer se kan man säga att faktorisering är omvändningen till att utveckla parenteser.

7.1 Faktorisera ut parenteser

I exemplet ovan, ab+ac=a(b+c)ab+ac = a(b+c), kan man säga att vi faktoriserade ut variabeln aa. Man kan också tänka sig att man kan faktorisera ut "hela parenteser". Betrakta följande uttryck:

(x+y)b+(x+y)c(x+y)b+(x+y)c

Här ser vi två termer, (x+y)b(x+y)b och (x+y)c(x+y)c. Både innehåller faktorn x+yx+y, och vi kan därför faktorisera ut den, precis som om det vore en variabel.

(x+y)b+(x+y)c=(x+y)(b+c)(x+y)b+(x+y)c=(x+y)(b+c)

Detta kan bli viktigt i större uttryck där man måste faktoriserar i flera steg.


Exempel 1

Faktorisera uttrycket 2a2+2ab+3a+3b2a^2+2ab+3a+3b.

Lösning

Att faktorisera hela detta uttryck på en gång ser svårt ut, så vi försöker börja med att bara faktorisera någon del av det. För att faktorisera måste vi hitta termer med gemensamma faktorer. De två första termerna har båda faktorn 2a2a, så vi plockar ut den:

2a(a+b)+3a+3b2a(a+b)+3a+3b

De två sista termerna har den gemensamma faktorn 33.

2a(a+b)+3(a+b)2a(a+b)+3(a+b)

Nu har vi reducerat från fyra termer till två. Vi ser att de två kvarvarande termerna båda innehåller faktorn (a+b)(a+b), och vi kan därför bryta ut den också.

(2a+3)(a+b)(2a+3)(a+b)

Och vi har då faktoriserat uttrycket fullständigt.


En viktig sak att se här är att om vi hade börjat i en annan ände hade vi kanske inte lyckats med hela faktoriseringen. Till exempel, om vi hade grupperat ihop andra och tredje termen hade vi fått

2a2+a(2b+3)+3b2a^2+a(2b+3)+3b

och därifrån är det svårt att faktorisera längre.

Det gäller alltså att man angriper uttrycket på rätt sätt för att det ska gå hela vägen. Det kan ofta vara väldigt svårt att se hur man ska gå tillväga för att faktorisera mer komplicerade uttryck, och det finns inte någon allmän metod som alltid fungerar. Det gäller att ha bra vana, testa olika saker och ha lite tur.

Ett tips när du ska faktorisera är att alltid försöka dela in alla termer i grupper så att varje grupp har minst en gemensam faktor. Delar vi till exempel upp uttrycket 2a2+2ab+3a+3b2a^2+2ab+3a+3b i grupperna (2a2+2ab)+(3a+3b)(2a^2+2ab)+(3a+3b) har den först gruppen den gemensamma faktorn 2a2a och den andra gruppen har den gemensamma faktorn 33. Om vi däremot delar upp uttrycket i grupperna (2a2+3b)+(2ab+3a)(2a^2+3b)+(2ab+3a) så saknar termerna i den andra gruppen en gemensam faktor. Detta gör det omöjligt att faktorisera hela uttrycket ytterligare. Ifall du kör fast när du faktoriserar är det alltid bra att försöka ändra om i hur du har grupperat termerna. Kan du se till att varje grupp får en gemensam faktor är det alltid enklare att lista ut hur hela uttrycket ska faktoriseras.


Övning 1

Faktorisera följande uttryck.

a) xa+b+xb+axa + b +xb+a

b) 12y+xy+3x+4y212y+xy+3x+4y^2

c) axp+axq+ayp+ayq+bxp+bxq+byp+byqaxp+axq+ayp+ayq+bxp+bxq+byp+byq


Vad som också hjälper mycket är att kunna känna igen några vanliga faktoriseringar som brukar dyka upp, vilket vi tar upp i nästa del.

7.2 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

Uttrycket (a+b)2(a+b)^2 kan utvecklas enligt följande:

(a+b)2(a+b)^2
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
a(a+b)+b(a+b)a(a+b)+b(a+b)
a2+ab+ba+b2a^2+ab+ba+b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2

Det gäller alltså att

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Detta brukar kallas "Den första kvadreringsregeln". Genom att utveckla (ab)2(a-b)^2 och (a+b)(ab)(a+b)(a-b) och förenkla får man också den andra kvadreringsregeln och konjugatregeln:

(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Dessa tre är bra att kunna känna igen, och visar sig ofta vara användbara. Dels gör de det enklare att utveckla vissa uttryck, men framför allt ger de en möjlighet till faktorisering. Ofta kan man stöta på uttryck på formen av något av högerleden i de tre reglerna ovan. Då vet vi att vi kan faktorisera det enligt vänsterledet. Låt oss ta ett exempel.


Exempel 2

Faktorisera x210x+25x^2-10x+25.

Lösning

Om man skriver om detta uttryck som x225x+52x^2-2 \cdot 5 \cdot x+5^2, kan man känna igen den andra kvadreringsregeln. Mycket riktigt får vi:

x210x+25x^2-10x+25
x225x+52x^2-2 \cdot 5 \cdot x+5^2
(x5)2(x-5)^2

Konjugatregeln är ett användbart verktyg i många olika sammanhang. Vi kan även använda regeln förenkla bråk där nämnaren innehåller rotuttryck. Ta följande uppgift som exempel.


Exempel 3

Förenkla uttrycket 5x2x+3x\dfrac{5x}{\sqrt{2x}+\sqrt{3x}}.

Lösning

Att ha en summa av rotuttryck i nämnaren är ofta inte så trevligt att jobba med. Så hur kan vi få bort dem? Om vi tänker oss att a=2xa=\sqrt{2x} och b=3xb=\sqrt{3x}, så är nämnaren just nu a+ba+b. Men vi vill ha något som bara består av a2a^2 och b2b^2, eftersom a2=2xa^2=2x och b2=3xb^2=3x är mycket finare att arbeta med. Högerledet i konjugatregeln består bara av a2a^2 och b2b^2, och genom att förlänga bråket med (ab)(a-b), det vill säga (23)(\sqrt{2}-\sqrt{3}), blir nämnaren exakt vänsterledet av konjugatregeln.

5x2x+3x\dfrac{5x}{\sqrt{2x}+\sqrt{3x}}
5x(2x3x)(2x+3x)(2x3x)\dfrac{5x(\sqrt{2x}-\sqrt{3x})}{(\sqrt{2x}+\sqrt{3x})(\sqrt{2x}-\sqrt{3x})}
5x(2x3x)2x23x2\dfrac{5x(\sqrt{2x}-\sqrt{3x})}{\sqrt{2x}^2-\sqrt{3x}^2}
5x(2x3x)2x3x\frac{5x(\sqrt{2x}-\sqrt{3x})}{2x-3x}
5x(2x3x)x\frac{5x(\sqrt{2x}-\sqrt{3x})}{-x}
5(2x3x)-5(\sqrt{2x}-\sqrt{3x})
5(3x2x)\mathbf{5(\sqrt{3x}-\sqrt{2x})}

Alla faktoriseringsregler, inklusive kvadreringsreglerna och konjugatregeln, dyker inte alltid upp i sin enklaste form. Det kan vara hela parenteser som har rollen av en variablerna i regeln. Till exempel, uttrycket (a+b)2(c+d)2(a+b)^2-(c+d)^2 kan vi med kvadreringsregel faktorisera till

((a+b)+(c+d))((a+b)(c+d))=(a+b+c+d)(a+bcd).((a+b)+(c+d))((a+b)-(c+d))=(a+b+c+d)(a+b-c-d).

7.3 Tillämpningar av faktoriseringar

Oftast dyker faktoriseringar upp som en del av en större uppgift. Ett vanligt fall då det kan vara användbart är i uppgifter som handlar om heltal.

För att illustrera detta kan vi ta upp ett exempel, men i allmänhet måste man ofta komma på själv hur man kan utnyttja faktorisering för att lösa en uppgift.


Exempel 4

Hitta alla heltal aa och bb så att a2+37=b2a^2+37=b^2

Lösning

Ekvationen kan skrivas om till 37=b2a237=b^2-a^2. Med konjugatregeln kan vi faktorisera högerledet, och får då.

37=(b+a)(ba)37=(b+a)(b-a)

Eftersom aa och bb är heltal måste båda faktorerna i högerledet vara heltal. Alltså måste vi kunna skriva vänsterledet som en produkt av två heltal. Eftersom 3737 är ett primtal finns det bara fyra sätt att göra det på: (371)(37 \cdot 1), (137)(1 \cdot 37), (371)(-37 \cdot -1), (137)(-1 \cdot -37). För var och en av dessa kan vi få ett ekvationssystem. Till exempel, för det första alternativet har vi b+a=37b+a=37 och ba=1b-a=1. I en tidigare lektion (Algebra fortsättning nivå 2) fick vi lära oss att lösa q1§ekvationssystem.

b+a=37ba=1b+a=37 \\ b-a=1

Här blir det smidigt att använda additionsmetoden. Om vi adderar våra två ekvationer till varandra ledvis får vi

(b+a)+(ba)=37+1(b+a)+(b-a)=37+1
2b=382b=38
b=19b = 19

Vi kan stoppa in b=19b=19 i någon av ekvationerna för att få att a=18a=18. Vad blir värdena på aa och bb för de andra möjligheterna för att dela upp 3737 i heltalsfaktorer?


Även ekvationer som inte är begränsade av heltal kan lösas med hjälp av faktorisering. Oftast vill man då uppnå att ett faktoriserat uttryck är lika med noll, eftersom man då kan dra slutsatsen att någon av faktorerna är noll.


Exempel 5

Lös ekvationen x3+2x2+x=0x^3+2x^2+x=0.

Lösning

Vi försöker faktorisera vänsterledet. Ett första steg är att bryta ut den gemensamma faktorn xx:

x(x2+2x+1)=0x(x^2+2x+1)=0

Nu kanske du kan känna igen den första kvadreringsregeln inom parentesen.

x(x+1)2=0x(x+1)^2=0

Eftersom produkten i vänsterledet är noll måste någon av faktorerna vara noll. Alltså har vi antingen x=0x=0 eller (x+1)2=0    x+1=0    x=1(x+1)^2=0 \implies x+1=0 \implies x=-1. Ekvationen har lösningarna 0\mathbf{0} och 1\mathbf{-1}.


Problem att lösa för Lektion 7

1. Förenkla följande uttryck. \\

a) 2x2185x+15\dfrac{2x^2-18}{5x+15} \\

b) (x21)+x1x+2\dfrac{(x^2-1)+x-1}{x+2} \\

c) 1(a2+2ab+b2)1ab\dfrac{1-(a^2+2ab+b^2)}{1-a-b}

2. Hitta alla positiva heltal nn så att talet 2n+32n+3 är en faktor till 8n+408n+40.

3. För tre tal a,b,ca, b, c gäller att a+b=3ac+b=18bc+a=6a + b = 3 ac + b = 18 bc + a = 6, vad är cc?

PQ riksfinal 2013, del 1 problem 7

4. Summan av ett tal och dess kvadrat är 156156. Vilket är talet?

5. Faktorisera följande uttryck.

a) a2b2+2bc+c2a^2-b^2+2bc+c^2

b) 1+x+y+xy1+x+y+xy

6. Hitta alla heltal xx och yy så att x2+xy=26x^2+xy=26.

7. Hitta alla heltal aa och bb så att ab2018=a+bab-2018=a+b.

8. Hitta alla heltalslösningr till ekvationen 1x+1y=1101\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{101}.

SMT kval 2009, problem 4

9. Bevisa att x3xx^3-x är delbart med 66 för alla heltal xx. 1.

Lösningar

1. a) Vi kan bryta ut en 22:a i täljaren och en 55:a i nämnaren så att

2x2185x+15=2(x29)5(x+3)\frac{2x^2-18}{5x+15} = \frac{2(x^2-9)}{5(x+3)}

Nu kan vi använda konjugatregeln för att skriva om x29x^2-9 i täljaren till (x3)(x+3)(x-3)(x+3).

2(x29)5(x+3)=2(x3)(x+3)5(x+3)\frac{2(x^2-9)}{5(x+3)} = \frac{2(x-3)(x+3)}{5(x+3)}

Så länge x+3x+3 inte är 00 kan vi förkorta bort x+3x+3. Svaret är därmed 2(x3)5\mathbf{\dfrac{2(x-3)}{5}}, där xx är inte 3-3.

b) Vi kan utnyttja konjugatregeln i täljaren, så att

(x21)+x1x+2=(x1)(x+1)+x1x+2\dfrac{(x^2-1)+x-1}{x+2}= \dfrac{(x-1)(x+1)+x-1}{x+2}

Om vi ser x1x-1 som (x1)1(x-1)\cdot1 så ser vi att vi kan faktorisera nämnaren ytterligare till

(x1)(x+1)+(x1)1x+2=(x1)(x+1+1)x+2=(x1)(x+2)x+2\dfrac{(x-1)(x+1)+(x-1)\cdot1}{x+2}=\frac{(x-1)(x+1+1)}{x+2}= \dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}

Så länge x+2x+2 inte är 00 kan vi förkorta bort x+2x+2. Svaret är därmed x1\mathbf{x-1}, där xx är inte 2-2.

c) Här kan vi känna igen kvadreringsregeln i uttrycket (a2+2ab+b2)(a^2+2ab+b^2) i täljaren:

1(a2+2ab+b2)1ab=1(a+b)21ab\frac{1-(a^2+2ab+b^2)}{1-a-b} = \frac{1-(a+b)^2}{1-a-b}

Om vi att betraktar parentesen (a+b)(a+b) som en egen variabel ser vi att vi också kan applicera konjugatregeln:

12(a+b)21ab=(1(a+b))(1+(a+b))1ab=(1ab)(1+a+b)1ab\frac{1^2-(a+b)^2}{1-a-b}=\frac{(1-(a+b))(1+(a+b))}{1-a-b}=\frac{(1-a-b)(1+a+b)}{1-a-b}

Så länge 1ab1-a-b inte är 00 kan vi förkorta bort 1ab1-a-b. Svaret är därmed 1+a+b\mathbf{1+a+b} där a+b1a+b \neq 1.

2. Vi söker faktorer till talet 8n+408n+40. Vi kan faktorisera detta till 8(n+5)8(n+5). Talet 2n+32n+3 måste vara udda, eftersom 2n2n är jämnt och jämnt + udda = udda. Att ett heltal aa delar en produkt av heltal bcbc innebär att vi kan skriva a=xya=xy så att xx delar bb och yy delar cc. I vårt fall har vi b=8b=8 och c=n+5c=n+5. Då (2n+3)(2n+3) inte innehåller någon faktor 22 finns det inget som kan dela 88, och därför måste 2n+32n+3 dela n+5n+5.

Ett tal som delar ett annat tal får såklart inte vara större än talet det delar. Därför måste 2n+3n+52n+3 \leq n+5. Detta innebär att n2n \leq 2nn och eftersom nn ska vara positivt följer det att nn antingen är 11 eller 22. Om n=1n=1 får vi 8n+40=488n+40=48 och 2n+3=52n+3=5, men 55 delar inte 4848. Om n=2n=2 får vi 8n+40=568n+40=56 och 2n+3=82n+3=8, och 88 delar 5656. Den enda lösningen är alltså n=2\mathbf{n=2}.

3. Enligt första ekvationen har vi att b=3ab=3-a. Stoppar vi in det i andra ekvationen får vi ac+3a=18ac + 3-a = 18, vilket kan skrivas som aca=15ac - a = 15. Nu kan vi faktorisera vänsterledet till a(c1)=15a(c-1) = 15. Likadant kan vi stoppa in a=3ba=3-b i tredje ekvationen, och vi får då b(c1)=3b(c-1) = 3. Summerar vi dessa två nya ekvationer ledvis får vi a(c1)+b(c1)=15+3a(c-1)+b(c-1)=15+3. Vänsterledet kan här faktoriseras till (a+b)(c1)=18(a+b)(c-1)=18. Men vi vet att a+b=3a+b=3, så då får vi 3(c1)=183(c-1)=18 vilket innebär att c=7\mathbf{c=7}.

4. Kalla talet vi söker för xx. Då säger uppgiften att x2+x=156x^2+x=156. Faktoriserar vi vänsterledet får vi x(x+1)=156x(x+1)=156. Vi primtalsfaktoriserar också 156156, för att se hur vi kan dela upp faktorerna mellan de två parenteserna. 156=22313156=2^2\cdot3\cdot13. Vi behöver kombinera dessa faktorer så att vi får exakt två faktorer, där den ena är ett större en den andra. Om xx är positivt är det enda sättet att göra det på är 121312\cdot13 så att x=12x=12. Instruktionen säger dock inget om att xx måste vara positivt så det innebär att 1213-12\cdot-13 är en lösning med. Detta ger oss den andra lösningen x=13x=-13. Svaret är därmed x=12,x=13\mathbf{x=12, x=-13}.

5. a) I uttrycket a2b2+2bcc2a^2-b^2+2bc-c^2 ser vi att b2+2bcc2-b^2+2bc-c^2 påminner om någon av kvadreringsreglerna. Vi behöver bara vända på alla minustecken för att få den andra kvadreringsregeln.

a2b2+2bcc2=a^2-b^2+2bc-c^2 =
a2(b22bc+c2)=a^2-(b^2-2bc+c^2) =
a2(b+c)2a^2-(b+c)^2

Nu har vi en differens av två kvadrater och kan därför använda konjugatregeln.

a2(b+c)2=a^2-(b+c)^2 =
(a(b+c))(a+(b+c))(a-(b+c))(a+(b+c))
(abc)(a+b+c)(a-b-c)(a+b+c)

Vi kan inte faktorisera detta ytterligare så svaret är därmed (abc)(a+b+c)\mathbf{(a-b-c)(a+b+c)}.

b) Som vi nämnt förut kan det vara bra att försöka para ihop termerna två och två när man har fyra termer. Här kan vi tex börja med att se att de två sista termerna båda är delbara med yy:

1+x+y+xy=(1+x)+(1+x)y1+x+y+xy = (1+x)+(1+x)y

Nu fick vi två termer som båda innehåller faktorn (1+x)(1+x). Vi kan nu faktorisera detta till

(1+x)+(1+x)y=(1+x)(1+y)(1+x)+(1+x)y = (1+x)(1+y)

Svaret är därmed (1+x)(1+y)\mathbf{(1+x)(1+y)}.

6. Faktorisera vänsterledet till x(x+y)=24x(x+y)=24. Nu kan vi primtalsfaktorisera 2626, för att hitta alla sätt att skriva 2626 som en produkt av två heltal. Givet de två heltalen kan vi lösa ut xx och yy. Alla möjliga kombinationer av heltal xx och yy är därmed följande:

Uppdelningxx+yy
13\cdot213132211-11
2\cdot132213131111
26\cdot126261125-25
1\cdot261126262525
-13\cdot-213-132-21111
-2\cdot-132-213-131111
-26\cdot-126-261-12525
-1\cdot-261-126-2625-25

7. Om vi flyttar över a+ba+b till vänsterledet så kan vi börja försöka faktorisera:

ab2018=a+bab-2018=a+b
abab2018=0ab-a-b-2018=0

Vi grupperar ihop abab med a-a och b-b med 2018-2018:

a(b1)(b+2018)=0a(b-1)-(b+2018) = 0

För att kunna faktorisera vidare behöver vi ha en gemensam faktor mellan de två termerna. Vi kan skapa den gemensamma faktorn (b1)(b-1) genom att addera 20192019 till båda leden:

a(b1)(b+2018)+2019=2019a(b-1)-(b+2018) +2019= 2019
a(b1)(b1)=2019a(b-1)-(b-1) = 2019
(a1)(b1)=2019(a-1)(b-1)= 2019

Nu kan vi faktorisera vänsterledet längre. Vi lägger märke till att 20192019 är ett primtal, så det finns bara fyra sätt att skriva det som en produkt av två heltal: (12019), (20191), (12019), (20191)(1\cdot2019),\ (2019\cdot1),\ (-1\cdot-2019),\ (-2019\cdot-1). Varje faktorisering av 20192019 ger en egen lösning i aa och bb. Det följer alltså att lösningarna är (a,b)=(2,2020), (2020,2), (2018,0), (0,2018)\mathbf{(a, b) = (2, 2020), \ (2020, 2), \ (-2018, 0), \ (0, -2018)}.

8. Vi kan multiplicera båda led med 101xy101xy för att få bort alla bråk:

101y+101x=xy101y+101x=xy

Vi flyttar över allt till vänsterledet och byter tecken på alla termer för att försöka faktorisera:

xy101x101y=0xy-101x-101y=0

Med samma metod som i förra uppgiften kan vi först addera 1012101^2 till båda led, och sedan faktorisera:

xy101x101y+1012=1012xy-101x-101y+101^2=101^2
(x101)(y101)=1012(x-101)(y-101)=101^2

Nu kan vi också som tidigare göra en tabell över alla sätt att skriva 1012101^2 som en produkt av två heltal, och för varje faktorisering kan man lösa ut xx och yy. Vi lägger märke till att 101101 är ett primtal så de enda kombinationerna av positiva faktorer vars produkt är 1012101^2 är (1012,1), (1,1012)(101^2, 1), \ (1, 101^2) och (101,101)(101, 101). Det följer alltså att uppgiften har lösningarna (x,y)=(10302,102), (102,10302), (202,202)\mathbf{(x,y) = (10302, 102), \ (102, 10302), \ (202, 202)}.

9. Faktorisera x3xx^3-x till x(x21)x(x^2-1). Nu kan man känna igen konjugatregeln och faktorisera till x(x1)(x+1)x(x-1)(x+1). Alltså har vi en produkt av tre efterföljande heltal. Bland tre efterföljande heltal måste exakt ett av de vara delbart med 33, och minst ett av de vara delbart med 22. Alltså är produkten delbar med 23=62\cdot3=6.


📝Lektion 8: Pythagoras sats

📝Lektion 6: Talbaser