📝

Lektion 6: Talbaser

📝Lektion 7: Faktoriseringar och förenklingar - fortsättning

📝Lektion 5: Slutsiffror


Lektionsöversikt


Ordlista


6.1 Introduktion till talbaser

Det går att representera tal på många olika sätt med olika talsystem. Exempelvis kan en fånge räkna antalet inlåsta dagar genom att rista ett nytt streck på väggen varje dag. I detta talsystem betyder symbolen streck 11 och alla symbolernas värden ska adderas. Ett mer praktiskt talsystem är att låta symbolernas position ge information. Talbaser är ett sådant talsystem. Normalt skrivs tal i talbas 1010. Exempelvis betyder talet:

705 = 7100+010+51 = 7102+0101+5100705 \ =\ 7\cdot100 +0\cdot10+5\cdot1 \ =\ 7\cdot10^2 +0\cdot10^1+5\cdot10^0

I talbas 1010 används 1010 siffror 0,1,,90,1,\dots,9 och varje position ska tolkas som en tiopotens. Det går att representera tal på liknande sätt med andra baser än just 1010. För att markera det skriver man ett index, till exempel 31731_{7} för bas 77. Talet 31731_{7} betyder alltså 371+170=223\cdot7^1+1\cdot7^0=22. I talbas 99 betyder istället 319=391+190=2831_9=3\cdot9^1+1\cdot9^0=28. Vi är vana att använda bas 1010 när vi adderar och subtraherar med uppställning. Uppställning fungerar på liknande sätt för andra talbaser än 1010. Vi gör uppställning på exemplet:

147+55714_7+55_7

Först ska vi addera entalen som är lika mycket värda i talbas 1010. Addition av entalen blir 47+57=4+5=17+2=1274_7+5_7=4+5=1\cdot7+2=12_7. Alltså slutar svaret på 272_7 och vi får en extra term 10710_7 när vi adderar 10710_7-talen: 107+(107+507)=7107=100710_7+(10_7+50_7)=7\cdot10_7=100_7. Svaret blir 27+1007=10272_7+100_7=102_7.

I talbas 77 ersätter alltså talet 77 rollen som 1010 har i talbas 1010. Multiplikation med 77 sätter dit en nolla på slutet av talet.


Övning 1

a) Beräkna 472+29472+29 med uppställning.

b) Beräkna 1203+223120_3+22_3, svara i talbas 33.

c) Beräkna 33524533_5-24_5, svara i talbas 55.

d) Beräkna 10211210_2\cdot11_2, svara i talbas $2$.

e) Beräkna 6107107\frac{610_7}{10_7}, svara i talbas 77.

f) Hur multiplicerar du ett tal skrivet i bas 33 med 33?

g) Hur multiplicerar du ett tal skrivet i bas 22 med 44?


6.2 Konvertering mellan talbaser

Innan vi börjar gå (konvertera) mellan olika talbaser ska vi titta på en egenskap i talbas 1010. Antag att xx är ett heltal som uppfyller:

4102x<5102  ()4\cdot10^2\leq x<5\cdot10^2 \ \ (*)

Då är xx tresiffrigt med hundratalssiffra 44. Dessutom vet vi att talet (x4102)(x-4\cdot 10^2) inte kan bestå av mer än två siffror. Samma princip fungerar i andra talbaser än just 1010. För att illustrera detta ska vi försöka skriva 2323 i talbas 33. Alltså skriva 2323 som en summa

23=?30+?31+?32+?33+23=?\cdot3^0+?\cdot3^1+?\cdot3^2+?\cdot3^3+\dots

där frågetecknen ska ersättas med någon av siffrorna 0,1,20, 1, 2. Eftersom 2003=23223<332=10003200_3=2\cdot3^2\leq 23< 3\cdot3^2=1000_3 är 2323 tresiffrigt och börjar på 22 i basen 33, jämför med (*). Nu kan vi göra samma sak med (23232)=5(23-2\cdot3^2)=5 som är ett högst tvåsiffrigt tal i basen 33. Eftersom 103=135<23=20310_3=1\cdot3\leq 5<2\cdot3=20_3 är nästa siffra 11. Kvar som entalssiffra blir 513=25-1\cdot3=2. Sammantaget blir 23=212323=212_3. Det är sedan enkelt konvertera tillbaka till talbas 1010 för att kontrollera svaret: 2123=232+131+230=18+3+2=23212_3=2\cdot3^2+1\cdot3^1+2\cdot3^0=18+3+2=23

Konverteringen fungerade. Ett ställe där konvertering används är i miniräknare. Miniräknare använder talbas 22 (kallas också det binära talsystemet). Skriver du in 17+4517+45 på din miniräknare kommer den först att konvertera 1717 och 4545 till bas 22, addera talen i bas 22 och sedan konvertera tillbaka summan till bas 1010.


Övning 2

a) Skriv talet 2828 i talbas 33.

b) Skriv talet 777797777_9 i talbas 1010.

c) Skriv talet 667667 i talbas 99.

d) Skriv talet 43843_8 i talbas 77.

e) Skriv talet 99989998 i talbas 55.

f) Beräkna 547+221354_7+221_3, svara i bas 77.

g) Beräkna 1356+448135_6+44_8, svara i bas 55.


6.3 Talbas 2 i spel

I vissa speciella situationer finns det en fördel att representera tal i talbas 22. Som exempel tas ett spel mellan två spelare som heter Nim. I spelet Nim finns ett antal högar med tändstickor. Exempelvis tre högar med 33, 77 respektive 22 stickor. Spelarna turas om att ta stickor. Spelaren på tur väljer en av högarna och väljer ett positivt antal stickor att plocka bort från den högen. Stickorna som plockas bort försvinner från spelet. Den spelaren som plockar bort den sista stickan vinner. Övning 3 handlar om spelet Nim. För att analysera spel mellan två spelare är det ofta smidigt att inför två begrepp: vinnartillstånd och förlorartillstånd. Spelet befinner sig i ett vinnartillstånd om spelaren på tur vinner (om den spelar perfekt). Och spelet är i ett förlorartillstånd om spelaren på tur förlorar (om motståndaren spelar perfekt).


Övning 3

a) En Nim omgång börjar med en hög med 33 stickor. Vem vinner?

b) En Nim omgång börjar med två högar med 77 stickor i båda. Vem vinner?

c) En Nim omgång börjar med tre högar med 11, 22 respektive 33 stickor. Vem vinner?

d) En Nim omgång börjar med fem högar med 11, 22, 33, 77 respektive 77 stickor. Vem vinner?

e) Titta på övning a), b), c) och d) igen. Skriv upp antalet tändstickor i varje hög i talbas 22. Finns det något gemensamt för förlorartillstånden som skiljer från vinnartillstånden?

f) En Nim omgång börjar med tre högar med 77, 99 respektive 1414 stickor. Vem vinner?

g) Nu ändrar vi reglerna i Nim. Det är nu tillåtet att välja en eller två av högarna och därefter ta valfritt positivt antal stickor från respektive hög. En omgång med det nya reglerna börjar med tre högar med 8,10,118, 10, 11 respektive 1515 stickor. Vem vinner?


Problem att lösa för Lektion 6

1. Vilket av talen 10101910101_{9} och 10181101_{81} är störst?

2. Bestäm talbasen xx så att 331x=151x+190x.331_x=151_x+190_{x}.

3. Vilka av talen 2,3,6,72, 3, 6, 7 delar 8001037800103_{7}?

4. Är talet 110110010181101100101_8 delbart med 33?

5. Beräkna 111112+111111_2+1, svara i bas 22.

Lösningar

1. Utnyttja att 92=819^2=81. Vi får att: 10181=812+1=94+1=100019<101019101_{81}=81^2+1=9^4+1=10001_9<10101_9. Alltså ör 101019\mathbf{10101_{9}} störst.

2. Börja med att subtrahera 201x201_x från båda sidor. Får då ekvationen 130x=50x+90x130_x=50_x+90_x. Dela med 10x10_x ger 13x=5x+9x13_x=5_x+9_x. Alltså är x+3=5+9x+3=5+9 vilket ger svaret x=11\mathbf{x=11}. Notera att siffrorna i ekvationen finns i talbas 1111.

3. Basen 77 är ingen delare eftersom 8001037800103_{7} inte slutar på en nolla. Vi fortsätter att undersöka om 66 är en delare. Vi skriver ut 8001037=875+72+3800103_{7}=8\cdot7^5+7^2+3. Utnyttja att 7=6+17=6+1 upprepade gånger: 75=674+74=674+673+73==6k+17^5=6\cdot7^4+7^4=6\cdot7^4+6\cdot7^3+7^3=\dots=6k+1, där kk är något heltal. Då blir

8001037=875+72+3=8(6k+1)+(68+1)+3=8+1+3+6(8k+8)=12+6(8k+8)800103_{7}= \\ 8\cdot7^5+7^2+3= \\ 8\cdot(6k+1)+(6\cdot8+1)+3= \\ 8+1+3+6\cdot(8k+8)= \\ 12+6\cdot(8k+8)

vilket är delbart med 2,3,6\mathbf{2,3,6} men inte 77.

4. Här vill vi utnyttja att 33 nästan delar basen 88 för 8+1=338+1=3\cdot3. Vi får att 11011001018=(89+88)+(86+85)+(82+1)=988+985+651101100101_8=(8^9+8^8)+(8^6+8^5)+(8^2+1)=9\cdot8^8+9\cdot8^5+65, Eftersom 33 inte delar 6565 så är 110110010181101100101_8 inte delbart med 33.

5. Vi ser att 11111211111_2 är största femsiffriga talet. Alltså måste 111112+111111_2+1 vara det minsta sexsiffriga talet vilket är 1000002\mathbf{100000_2}.


📝Lektion 7: Faktoriseringar och förenklingar - fortsättning

📝Lektion 5: Slutsiffror