📝

Lektion 5: Slutsiffror

📝Lektion 6: Talbaser

📝Lektion 4: Delbarhet


Lektionsöversikt


5.1 Vad är en slutsiffra?

Slutsiffran på ett tal är den sista siffran i talet, även kallat entalssiffran. I den här lektionen kommer vi fokusera på hur man kan ta reda på slutsiffran av en uträkning, utan att veta vad hela svaret är.


Övning 1

Vad är slutsiffran i 749749?


5.2 Slutsiffran kan räknas ut med bara slutsiffror

Tänk att du ska räkna ut en addition mellan två tal. Till exempel 744+418744 + 418. Ett vanligt sätt att göra detta är att ställa upp additionen, det vill säga skriva talen ovanför varandra och sedan addera talen siffra för siffra från höger. Då märker du nog att du vet vad summan slutar på redan när du adderat 44 med 88 och fått 1212. Du har alltså skrivit att summan slutar på 22 och sen har du 11 i minnessiffra när du ska addera tiotalen. Kontentan av detta är att vi kan veta att 744+418744 + 418 slutar på 22, utan att veta att summan blir 11621162. Detta kan vi göra genom att kolla på summan av slutsiffrorna, 4+8=124 + 8 = 12 och se att detta slutar på 22.

Varför är det så? Exemplet visar egentligen detta ganska tydligt. När vi adderade slutsiffrorna så fick vi 1212, det vill säga 11 i minnessiffra till nästa siffra. Vi kan dock inte få minnessiffror på andra hållet, till exempel minnessiffror från tiotalen till entalen. Alltså är det bara slutsiffrorna som påverkar vad slutsiffran i svaret blir.

Ett annat sätt att motivera detta är att dela upp talen i slutsiffra och inte slutsiffra. Alltså, vi kan se det som att 744=740+4744 = 740 + 4 och 418=410+8418 = 410 + 8. Då är 744+418=(740+4)+(410+8)744 + 418 = (740 + 4) + (410 + 8). Eftersom 740740 och 410410 båda slutar på 00, så påverkar dessa inte slutsiffran. Alltså räcker det att kolla på slutsiffran av summan 4+84 + 8.


Det samma gäller för multiplikation. Om man ska multiplicera två stora tal 744418744 \cdot 418 så räcker det att kolla på produkten av slutsiffrorna, 48=324 \cdot 8 = 32, och se att slutsiffran blir 22. Fundera gärna på hur detta skulle se ut i en uppställning av multiplikationen.

För att motivera detta kan vi göra på samma sätt som för addition. Genom att dela upp talen som 744=740+4744 = 740 + 4 och 418=410+8418 = 410 + 8 blir 744418=(740+4)(410+8)744 \cdot 418 = (740 + 4) \cdot (410 + 8). Detta är samma sak som 740410+7408+4410+48740 \cdot 410 + 740 \cdot 8 + 4 \cdot 410 + 4 \cdot 8. Här innehåller alla termer utom 484 \cdot 8 en faktor som slutar på 00, och kommer alltså inte påverka slutsiffran.


OBS! Notera att motsvarande inte fungerar för division! Till exempel är 122=6\frac{12}{2} = 6, men om gör samma uträkning med 1212:s slutsiffra får vi att 22=1\frac{2}{2} = 1. Det har att göra med att 1212 inte kan delas upp som 10+210 + 2 eftersom 102\frac{10}{2} inte längre slutar på 00. Att endast undersöka slutsiffror fungerar sällan när vi jobbar med division.


Övning 2

Vad är slutsiffran i 572+395572 + 395?


Övning 3

Vad är slutsiffran i 153936153 \cdot 936?


Övning 4

Vad är slutsiffran i 873+147593873 + 147 \cdot 593?


5.3 Beräkna slutsiffra för potenser

Vi kommer nu gå igenom hur man kan beräkna slutsiffran för potenser som 13813^8. Om du inte vet vad potenser är så kan man kort säga att potenser är upprepad multiplikation, alltså 138=1313131313^8 = 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdots 13 (88 st 1313 gånger varann).

En första förenkling är att 13813^8 har samma slutsiffra som 383^8. Det kan vi förstå med argumentet för slutsiffror i multiplikation som vi lärde oss tidigare. Om vi multiplicerar 1313 med 1313 med 1313 och så vidare, så kommer det ha samma slutsiffra som om vi multiplicerar 33 med 33 med 33 och så vidare.

Efter det kan vi göra multiplikationen steg för steg och ta bort de siffror som inte är slutsiffror eftersom de inte kommer påverka slutsiffran i svaret.


Exempel 1

Vad är slutsiffran i 13813^8?

Lösning

13813^8 har samma slutsiffra som 383^8. Slutsiffran av 383^8 kan vi beräkna genom att lägga till en 33:a i taget och ta bort siffror som inte är slutsiffror:

13813^8 har alltså slutsiffran 1\mathbf{1}.


Kanske märkte du att slutsiffrorna i exemplet upprepas. Slutsiffrorna var 3,9,7,1,3,9,7,13, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. Om vi tänker efter så är det ju bara den föregående slutsiffran som avgör vad nästa slutsiffra ska bli. Då kunde vi egentligen så fort vi såg att 353^5 hade slutsiffran 33, samma som 313^1 förstå att slutsiffrorna skulle upprepas som 3,9,7,13, 9, 7, 1 om och om igen. Detta kan vi använda för att beräkna slutsiffran av ännu större potenser, som 1350113^{501}. Eftersom det är en cykel som upprepar sig, behöver vi bara veta var i cykeln 1350113^{501} hamnar. Talen upprepar sig i en cykel om 44 och vi undrar vad tal nummer 501501 är i den serien. Detta kan vi ta reda på med resträkning. Delar vi 501501 med 44 får vi 5014=125\frac{501}{4} = 125 rest 11. Detta kan vi se som att vi går 125125 varv och sedan ett steg till. Då hamnar vi alltså på det första elementet i cykeln, 33. Ett annat sätt att se på det är att slutsiffran för 1350113^{501} är detsamma som 13113^1 (125125 varv tidigare) vilket har slutsiffran 33.

Metoden för att hitta slutsiffran för stora potenser är alltså att räkna ut vad de första slutsiffrorna blir, tills de börjar upprepa sig. De kommer alltid upprepa sig för det finns bara 1010 olika slutsiffror och så fort samma slutsiffra dykt upp två gånger kommer siffrorna att upprepa sig som de gjorde där emellan. När man vet vilka siffror som ingår i serien och hur längde den pågår innan den upprepar sig är det sista steget att ta reda på var i cykeln som potensen man letar efter hamnar. Detta gör vi med hjälp av resträkning. Om en cykel är 44 siffror lång och potensen är 247247 behöver vi bara dela 247247 med 44 och se att resten är 33 för att veta att det är den tredje siffran i cykeln som är slutsiffran på potensen.

Problem att lösa för Lektion 5

1. a) Hur upprepar sig slutsiffrorna för 71,72,73,7^1, 7^2, 7^3, \ldots?

b) Räkna ut slutsiffran i 73137^{313}.

c) Räkna ut slutsiffran i 5710357^{103}.

2. På ett pärlband finns 20172017 pärlor. Pärlorna följer samma mönster. Vilken pärla kommer på plats 20172017? (Start) Röd - Blå - Grön - Vit - Svart - Gul - Röd - Blå - Grön - Vit - Svart - Gul - … (Pythagoras Quest, distriksfinal 2017, del 3)

3. Vad är slutsiffran i uträkningen 93785669+8626729378\cdot5669 + 862^{672}?

4. Räkna ut slutsiffran i summan 20202021+20212022+202220232020^{2021} + 2021^{2022} + 2022^{2023}

5. Låt talet NN vara produkten av alla positiva heltal från 9999 till 11 som inte slutar på 00 eller 55, alltså N=9998979694121198764321N=99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot94 \ldots 12\cdot11\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1. Vad är slutsiffran i NN?

Lösningar

  1. a) Slutsiffrorna upprepar sig 7,9,3,1,7,9,3,1,7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, \ldots

    b) Perioden för slutsiffrorna är 44. 3134=78\frac{313}{4} = 78 rest 11. Slutsiffran blir alltså 7\mathbf{7}.

    c) Eftersom bara slutsiffran spelar roll, kan vi se det som att vi kollar på 71037^{103} istället. 1034=25\frac{103}{4} = 25 rest 33. Slutsiffran blir alltså 3\mathbf{3} eftersom 33 är den tredje slutsiffran i upprepningen.

  1. Pärlorna upprepar sig i cykeln Röd - Blå - Grön - Vit - Svart - Gul med en period 66. 20176=336\frac{2017}{6} = 336 rest 11, så på plats 20172017 är det en röd pärla.

3. Om man tar bort icke slutsiffror blir ekvationen 89+26728\cdot9 + 2^{672}. Vi kan se att 89=728\cdot9 = 72 har slutsiffran 22. Slutsiffrorna för potenser av 22 upprepar sig som 2,4,8,6,2,4,8,6,2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \ldots. Perioden är alltså 44. Med resträkning får vi att 6724=168\frac{672}{4} = 168 rest 00. Eftersom rest 11 motsvarar slutsiffran 22 borde rest 00 motsvara slutsiffran som kommer innan 22, det vill säga 66. Vi kan också se det som att rest 00 kan bytas ut mot rest 44, och 66 är det fjärde elementet i cykeln. 26722^{672} har i alla fall slutsiffran 66 så hela summan har slutsiffran 2+6=82 + 6 = \mathbf{8}.

4. 202020212020^{2021} har slutsiffran 00. 202120222021^{2022} har slutsiffran 11. För 202220232022^{2023} får vi kolla på slutsiffrorna för potenser av 22, som i uppgift 3. 20232023 har rest 33 vid division med 44, så slutsiffran av 202220232022^{2023} är 88. Hela summan har slutsiffran 0+1+8=90 + 1 + 8 = \mathbf{9}.

5. Det räcker att titta på slutsiffrorna i talen vi multiplicerar. Vi har 1010 stycken faktorer av varje slutsiffra utom 00 och 55. Det motsvarar alltså att hitta slutsiffran i 1102103104106107108109101^{10}\cdot2^{10}\cdot3^{10}\cdot4^{10}\cdot6^{10}\cdot7^{10}\cdot8^{10}\cdot9^{10}. Genom att primtalsfaktorisera talen 44, 66, 88 och 99 kan vi skriva om den här produkten till

110210310(22)10(23)10710(23)10(32)101^{10}\cdot2^{10}\cdot3^{10}\cdot(2^2)^{10}\cdot(2\cdot3)^{10}\cdot7^{10}\cdot(2^3)^{10}\cdot(3^2)^{10}

Vilket kan skrivas om som

2103102202103107102303202^{10}\cdot3^{10}\cdot2^{20}\cdot2^{10}\cdot3^{10}\cdot7^{10}\cdot2^{30}\cdot3^{20}

Vilket är samma sak som

210+20+10+30310+10+207102^{10+20+10+30}\cdot3^{10+10+20}\cdot7^{10}

Vilket är samma sak som

2703407102^{70}\cdot3^{40}\cdot7^{10}

Med metoden som använts på tidigare uppgifter har detta samma slutsiffra som 4194\cdot1\cdot9, alltså 6\mathbf{6}.

Hela talet N=9998979694121198764321N=99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot94 \ldots 12\cdot11\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 går att beräkna med en dator. Det är: 4022341605064930327073772062635644006682631073129026065791147313105354118998768752455317937570020851970256284901264559188213764022341605064930327073772062635644006682631073129026\\0657911473131053541189987687524553179375700208519702\\5628490126455918821376


📝Lektion 6: Talbaser

📝Lektion 4: Delbarhet