📝

Lektion 4: Delbarhet

📝Lektion 5: Slutsiffror

📝Lektion 3: Geometri - fortsättning


Lektionsöversikt


Ordlista


Ett heltal aa är delbart med bb givet att aa är en heltalsmultipel av bb. Exempelvis är 2121 delbart med 77 eftersom 21=3721 = 3\cdot7. Att bb delar talet aa kan skrivas som bab|a.

Delbarhet går ofta hand i hand och primtalsfaktorisering eftersom att vi kan lättare se vilka faktorer som ett tal måste vara delbart med när vi primtalsfaktoriserar det. Vi kommer nu att kolla på några delbarhetsknep som kommer göra det lättare för oss att se om ett vilka nummer som ett tal är delbart med.

4.1 Delbarhetsregler

Delbart med 2

Vi kan lätt se om ett heltal NN är delbart med 22. Om det sista siffran i NN är jämn, alltså om NN slutar med antingen 00, 22, 44, 66 eller 88, så är talet delbart med 22.

Delbart med 5

Detta är också väldigt lätt. Alla heltal som slutar med antingen 00 eller 55 är delbara med 55.

Delbart med 3 och 9

Det här är lite krångligare. Låt oss ta ett fyrsiffrigt tal abcdabcd som exempel. Ett fyrsiffrigt tal som 27892789 kan också skrivas på formen 21000+7100+810+92\cdot1000 + 7\cdot100 + 8\cdot10+ 9. På samma sätt kan vi skriva abcdabcd som

1000a+100b+10c+d1000a + 100b + 10c + d

vilket kan skrivas om till

(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)(999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)

Vi kan se att talet (999a+99b+9c)(999a + 99b + 9c) uppenbart är delbart med 33. Detta innebär att abcdabcd endast är delbart med 33 om och endast om talet (a+b+c+d)\mathbf{(a + b + c + d)} är delbart med 3\mathbf{3}. Se till att du verkligen förstår detta. Tänk dig att du redan har ett tal som är delbart med 33 och att du sedan adderar ett annat tal till det. För att summan av de två talen ska vara delbar med 33 måste det andra talet du adderade också ha varit delbart med 33. Annars går inte kvoten jämnt ut.

(a+b+c+d)(a + b + c + d) är summan siffrorna i talet abcdabcd. Det innebär alltså att ett fyrsiffrigt tal är delbart med 33 om och endast om dess siffersumma är delbar med 3\mathbf{3}. Detta resonemang kan utvidgas så att påståendet gäller för alla heltal. Exempelvis är 282282 och 6458764587 delbara med 33 eftersom att 2+8+2=122+8+2 = \mathbf{12} och 6+4+5+8+7=306+4+5+8+7 = \mathbf{30} är delbara med 33.

Vi kan använda samma resonemang för att komma fram till en delbarhetsregel för 99. Om siffersumman av ett tal är delbar med 99 måste även hela talet vara delbart med 99. Exempelvis är 8181 och 55985598 multiplar av 99 eftersom att 8+1=98+1=\mathbf{9} och 5+5+9+8=275+5+9+8=\mathbf{27} är delbara med 99.

Delbart med 4

Vi kan använda en liknande metod som vi använde för talen 33 och 99 för att hitta en delbarhetsregel för 44. Låt oss igen ta ett fyrsiffrigt tal abcdabcd som exempel.

abcdabcd
1000a+100b+cd1000a+100b+cd
(1000a+100b)+cd(1000a+100b)+cd
4(250a+25b)+cd4(250a+25b)+cd

Talet 4(250a+25b)4(250a + 25b) är delbart med 44, så det innebär att abcdabcd är en multipel av 44 om och endast om talet som består av de två sista siffrorna är delbart med 4\mathbf{4}. Det här resonemanget kan utvidgas till att omfatta alla heltal NN. Vi behöver exempelvis inte prova att dela 2984671429846714 med 44 för att se om det är delbart med 44 eller inte. Eftersom att talet slutar på 1414, som inte är delbart med 44, vet vi att talet 2984671429846714 inte heller kan vara det.

Delbarhet med andra tal

Hur gör vi med tal som 66, 1515, 1818 och 3636? Finns det några delbarhetsregler för dem med? Alla dessa tal är produkter av nummer som vi redan har delbarhetsregler för. Exempelvis är 6=326=3\cdot2. För att ett tal ska vara delbart med 66 måste alltså dess slutsiffra vara jämn och dess siffersumma måste vara delbar med 33. Vi kan använda samma metod för de andra talen.


Övning 1

Hur många tal mellan 300300 och 500500 har en siffersumma som är delbar med 99?


Övning 2

Hitta en delbarhetsregel för talet 88. Använd den regeln för att se om talet 7329183016353673291830163536 är delbart med 88 eller inte.


4.2 Delbarhet minskar antalet fall vi behöver undersöka

I många problem kommer vi att få i uppgift att hitta ett eller flera heltal som ska uppfylla ett visst antal kriterier. Ta det här problemet som exempel.

📝
Renskötaren Erik skulle meddela skattemyndigheten i Kiruna hur många renar han hade. I sitt brev till skattemyndigheten skrev han: ”När jag delar upp djuren i grupper om fyra så får jag ett över. Samma sak händer om de delas i grupper om fem och sex. Men i grupper om sju renar går det jämt upp. Jag har färre än 500 renar.” Hur många renar har Erik? Pythagoras Quest, riksfinal 2009, del 2 problem 6

Teoretiskt sätt skulle vi kunna prova igenom alla möjliga kombinationer tills att vi hittar alla möjliga lösningar (eller kommer fram till att det inte finns någon lösning), men detta kommer naturligtvis att ta väldigt lång tid. Som problemlösare vill vi skynda på den här processen genom att komma fram till restriktioner för de talen vi försöker hitta. En restriktion är någon typ av information som minskar antalet möjliga fall vi behöver undersöka. Det kan exempelvis vara att heltalet NN måste vara ett primtal eller ett kvadrattal, att det inte får vara större än 400400 eller att det måste sluta på siffran 88. Ju fler sådana restriktioner vi kan komma fram till, desto färre och färre fall kommer vi att behöva pröva för hand. En väldigt användbar restriktion är att ta reda på om talet vi letar efter måste vara delbart med ett särskilt nummer.

Låt oss ta ta problemet ovan som exempel. Vi letar alltså efter ett tal som ger rest 11 när det delas med 44, 55 och 66. Den minsta gemensamma multipeln av talen 44, 55 och 66 är 6060. Talet vi letar efter måste alltså vara 11 större än en multipel av 6060. Då Erik har färre än 500500 renar ger detta oss följande möjliga fall:

61,121,181,241,301,371,44161, 121, 181, 241, 301, 371, 441

301301 är det enda tal som också är delbart med 77. Erik har alltså 301\mathbf{301} renar.

Genom att lista ut att antalet renar behövde vara ett tal som var 11 större än en multipel av 6060 kunde vi avsevärt minska antalet möjliga fall vi behövde pröva. Det är detta som gör delbarhet till en sådan användbar metod.

4.3 Delbarhet i ekvationer

Ta en titt på den här ekvationen där aa och bb är båda positiva heltal.

3a+4b=183a+4b=18

Högerledet i ekvationen är delbart med 33. Eftersom att båda sidor av ekvationen ska vara lika stora innebär det att vänsterledet också måste vara delbart med 33. Termen 3a3a är dock redan delbar med 33, så det enda sättet som vänsterledet kan vara delbart med 33 är om bb också är delbart med 33.

Den här metoden är ett väldigt vanligt sätt att bevisa att en variabel måste vara delbart med ett visst nummer xx. Vi visar först att hela summan av, eller differensen mellan, en grupp av variabler måste vara delbar med xx. Givet att alla variabler förutom en redan är delbara med xx måste den sista variabeln som är kvar också vara det. Lägg märke till hur ekvationen här nedan, där aa, bb och cc är positiva heltal, skiljer sig från det tidigare exemplet.

3a+4b+c=183a+4b+c=18

Högerledet är fortfarande delbart med 1818 så vänsterledet måste också vara det. Eftersom att termen 3a3a är delbar med 33 måste summan 4b+c4b+c vara det med. Vi kan inte vara säkra på att bb eller cc själva är delbara med 33. Vi skulle kunna låta talen vara b=1b=1 och c=2c=2 och ekvationen skulle ha en möjlig lösning med a=4a=4. För att vi ska kunna vara säkra på att en variabel i en ekvation är delbar med ett visst tal xx krävs det att alla andra termer i ekvationen redan är delbara med xx.


Exempel 1

Lös ekvationssystemet

4x+3y=746y+z=1082z+5x=1284x+3y=74 \\ 6y+z=108 \\ 2z+5x=128

där xx, yy och zz är positiva heltal.

Lösning

I den första ekvationen ser vi att termerna 4x4x och 7474 båda är delbara med 22, så yy måste också vara delbart med 22. I den andra ekvationen ser vi att högerledet är delbart med 44 och eftersom att yy var delbart med 22 måste termen 6y6y vara delbar med 44 med. Detta innebär att zz är delbart med 44. I den tredje ekvationen är högerledet delbart med 88, och då zz var delbart med 44 är termen 2z2z delbar med 88. Alltså är xx också delbar med 88. Talet xx kan endast vara 88 eller 1616 för att vänsterledet i första ekvationen inte ska bli för stort. Om x=16x=16 följer det dock att 3y=103y=10 vilket inte har några heltalslösningar. Den enda lösningen är därmed att x=8x=8. Från detta följer det att y=14y=14 och att z=24z=24. Lösningen på ekvationssystemet är alltså (x,y,z)=(8,14,24)\mathbf{(x, y, z) = (8, 14, 24)}.


Övning 3

I ekvationssystemet nedan är mm, nn och pp positiva heltal.

9n2m=155pmn=797mn24=6np9n-2m=15 \\ 5p-mn=79 \\ 7mn-24=6np

Vilka av följande påståenden är sanna?

a) mm är delbart med 33

b) nn är ett udda tal

c) Produkten npnp är delbar med 77

d) nn är en delare till 2424

e) pp är ett jämnt tal


Övning 4 

Lös ekvationssystemet i Övning 3.


Övning 5

Vad är det minsta positiva heltal som kan skrivas som en summa av tre på varandra följande heltal, som en summa av fyra på varandra följande heltal och som en summa och fem på varandra följande heltal?


Ibland kan delbarhet även användas för att bevisa att det inte finns några lösningar till en viss uppgift. Detta händer normalt när vänsterledet i en ekvation är delbart med ett visst tal samtidigt som högerledet inte kan vara delbart med samma tal. Ett sådant exempel är ekvationen 4a+8y=504a+8y=50 där aa och bb är heltal. Vänsterledet är jämnt delbart med 44 men det är inte högerledet. En sådan ekvation kan omöjligen hålla.


Exempel 2

David har två olika typer marker. Några är färgade vita och resten är färgade svarta. Om han delar upp de vita markerna i grupper om tre får han exakt två marker över. Om han delar upp de svarta markerna i grupper om sex får han exakt tre marker över. Är det möjligt att David kan ha 20192019 marker totalt?

Lösning

Låt xx vara antalet vita marker och låt yy vara antalet svarta marker. Lägg märke till att yy måste vara jämnt delbar med 33 eftersom att det ger rest 33 när det delas på 66. Samtidigt kan vi se att xx inte är jämnt delbar på 33. Summan x+yx+y kan alltså inte vara delbar på 33. Detta gör det dock omöjligt att x+y=2019x+y=2019 eftersom att 20192019 är delbart med 33. Det är alltså inte möjligt att David kan ha exakt 20192019 marker.


Övning 5

Bestäm alla sätt att placera de tolv siffrorna 2,4,5,5,6,6,6,7,7,8,9,92, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9 i rutnätet nedan så att summorna av siffrorna i respektive kolumn bildar fyra på varandra följande tal, och summorna av siffrorna i respektive rad bildar tre på varandra följande tal.

Högstadiets Matematiktävling, kvalificering 2017/2018, problem 4


4.4 Skriva om variabler

Om vi vet att ett tal aa är delbart med ett visst nummer, säg 66, kan vi välja att skriva om aa till 6x6x istället där xx är ett heltal. I flera problem kan en sådan omskrivning vara en användbar metod.


Exempel 3

Hitta alla heltalslösningar till ekvationen

a2+3b2=144a^2 + 3b^2 = 144

Vi ser att högerledet är delbart med 33 och således är aa delbart med 33. Låt oss skriva om aa så att a=3xa=3x. Vi får då

(3x)2+3b2=144(3x)^2+3b^2=144
9x2+3b2=1449x^2+3b^2=144
3x2+b2=483x^2+b^2=48

Högerledet är fortfarande delbart med 33 och således är bb delbart med 33. Låt b=3yb=3y. Detta ger oss

3x2+(3y)2=483x^2+(3y)^2=48
3x2+9y2=483x^2+9y^2=48
x2+3y2=16x^2+3y^2=16

Både x2x^2 och y2y^2 är positiva tal. De enda värden som yy kan anta utan att vänsterledet blir för stort är y=0,1,2y = 0, 1, 2. Prövar vi dessa fall får vi heltalslösningarna (x,y)=(4,0),(2,2)(x, y) = (4, 0), (2, 2). Eftersom att a=3xa=3x och b=3yb=3y är lösningarna på ekvationen alltså (a,b)=(12,0),(6,6)\mathbf{(a, b) = (12, 0), (6, 6)}.

4.5 Paritet

Paritet är en specifik form av delbarhet där vi endast undersöker om ett tal är delbart på 22, det vill säga om talet är udda eller jämnt. Här nedan är några bra regler att ha koll på. Låt uu stå för udda tal, jj stå för jämna tal och låt nn vara ett heltal.

u±u=jj±j=ju±j=ujj=juu=uuj=jjn=jun=uu \pm u=j \\ j \pm j=j \\ u±j=u \\ j\cdot j=j \\ u\cdot u=u \\ u\cdot j=j \\ j^n=j \\ u^n=u

Ett heltal NN ändrar sin paritet, det vill säga om talet är udda eller jämnt, när vi adderar eller subtraherar NN med ett udda tal. NN behåller däremot sin paritet om vi adderar eller subtraherar det med ett jämnt tal. Multiplicerar vi NN med ett jämnt tal blir resultatet alltid jämnt. Om vi däremot multiplicerar NN med ett udda tal behåller N samma paritet som det hade innan.

Problem som handlar om paritet är ofta väldigt enkla att lösa, men ibland kan det vara svårt att inse att uppgiften faktiskt handlar om paritet. Låt oss kolla på några exempel.


Exempel 4

Peter and Nicklas har sju pappersbitar. Båda pojkarna plockar upp en bit, river sönder det i mindre bitar, och lägger tillbaka dem i högen. Peter river endast en pappersbit i tre mindre bitar medan Nicklas endast river en pappersbit i fem mindre bitar. Om de fortsätter på detta sätt, kan det till slut finnas 100100 pappersbitar i högen?

Lösning

Peter och Nicklas har ett udda antal pappersbitar från början. Om Peter tar en bit och river sönder den i tre mindre bitar kommer det totala antalet pappersbitar fortfarande vara udda. Samma sak händer om Nicklas river sönder en bit i fem mindre bitar. Antalet pappersbitar fortsätter att vara udda. Det är alltså omöjligt att de till slut kommer ha 100100 pappersbitar i högen eftersom att detta är ett jämnt tal.


Övning 6

Alla positiv heltal från 11 to 101101 är skrivna efter varandra på en rad. Kan tecknen “+” och “−” placeras mellan talen så att värdet av det slutgiltiga resultatet är 00? (Summan av alla heltal från 11 till 101101 är 51515151).


Problem att lösa för Lektion 4

1. För vilka par av heltal aa och bb gäller det att

(a1)(b+2)=7(a−1)\cdot(b+2)=7

Pythagoras Quest, distriktsfinal 2017, del 1 problem 3

2. Vilket är den 12751275:e termen i serien 1,3,5,7,15,1,3,5,715,1,31, 3, 5, 7, … 15, 1, 3, 5, 7… 15, 1, 3…?

Mandelbrot 3#

3. En man frågade Pythagoras hur många lärjungar han hade och fick följande svar: "Hälften av dem studerar matematik, en fjärdedel studerar fysik, en sjundedel lär sig tiga och sen har jag också tre små gossar som precis börjat hos mig." Hur många lärjungar hade Pythagoras?

Pythagoras Quest, riksfinal 2006, del 2 problem 1

4. Hitta värdet av AA om det femsiffriga talet 12A3B12A3B är delbart med både 44 och 99 och ABA \neq B.

MATHCOUNTS 1986

5. I Norge finns mynt i valörerna en, två och fem kronor. Petter Northug växlar en 200-kronorssedel till växelpengar i en bank. Han ber kassörskan om: ”Tio gånger så många tvåkronor som enkronor och resterande belopp vill jag ha i femkronor”. Eftersom Petter nyligen spöat ett gäng svenskar i VM vill man gärna vara honom till lags så han får det han begär. Hur många femkronor fick Petter?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2011, del 1 problem 2

6. En butik sålde 7272 likadana högtalare för a679ba679b kr. Vad är a+ba+b?

MAO 1991

7. För tre positiva heltal gäller att produkten av de två minsta är 7272, produkten av de två största är 108108 och produkten av det minsta och det största heltalet är 9696. Vad blir summan av de tre talen?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2011, del 2 problem 2

8. De två siffrorna aa och bb ska väljas så att det femsiffriga talet ababaababa är delbart med 55, samtidigt som det sjusiffriga talet babababbababab ska vara delbart med 1818. Bestäm alla möjliga sådana val av aa och bb.

Högstadiets Matematiktävling, final 2015/2016, problem 1

9. Ett sexsiffrigt tal formas genom att återupprepa ett tresiffrigt tal, till exempel 256256256256 eller 678687678687. Vilket är det största heltal som delar alla sådana tal?

10. I en urna ligger tio numrerade lappar med talen 11 till 1010. Två lappar tas från urnan och slängs samtidigt som den positiva differensen mellan talen på lapparna skrivs på en ny lapp och lägg ner i urnan. Återigen tas två lappar från urnan. Skillnaden mellan talen skrivs på en ny lapp som läggs i urnan medan de valda lapparna kastas. På detta sätt fortsätter man tills det att det bara finns en lapp kvar.

a) Står det ett udda eller jämnt tal på sista lappen i urnan? (Summan av alla tal i urnan är 5555).

b) Urnan töms och fylls med 100100 lappar med talen 11 till 100100 och samma procedur tillämpas. Står det ett udda eller jämnt tal på sista lappen i urnan? (Summan av alla tal i urnan är 50505050).

Pythagoras Quest, riksfinal 2012, del 1 problem 5

11. Egyptierna använde något som kallas för stambråk. Alla bråk kan skrivas som en summa av olika bråk med siffran ett i täljaren t.ex 34=12+14\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}. Skriv 2542\frac{25}{42} som stambråket 1a+1b+1c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} där aa, bb och cc är olika heltal.

Pythagoras Quest, distriksfinal 2017, del 1 problem 2

12. Hitta en delbarhetsregel för talet 2525 och använd den för att se om talet 3835697716517538356977165175 är delbart med 2525.

13. Vilket är det största heltal som delar produkten (n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9) för alla positiva heltal nn?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2016, del 2 problem 2

14. En påse innehåller ett visst antal marker. Om de delas in i grupper om fyra blir det två marker över, om de delas in i grupper om fem blir det tre marker över och om de delas in i grupper om sju blir det fem marker över. Vad är det minsta antal marker som påsen kan innehålla?

15. En liten ö består till av 23\frac{2}{3} skog och till 14\frac{1}{4} av sanddyner. Ön har också 140140 hektar åkerland. Om ön endast består av skog, sanddyner och åker, hur stor är öns area?

Pythagoras Quest, distriktsfinal 2010, del 3

16. Låt oss kalla ett bråk vackert om bråket är uttryckt i dess lägsta termer (exempelvis 13\frac{1}{3} istället för 26\frac{2}{6}). Hur många vackra bråk pq\frac{p}{q} finns det så att pq=2016pq=2016?

Pythagoras Quest, riksfinal 2016, del 1 problem 2

17. Förkorta bråket 131313272727\frac{131313}{272727} så långt som möjligt

Pythagoras Quest, riksfinal 2012, del 1 problem 3

18. Tre rånare kommer över en påse guldmynt vid sin senaste kupp. Bytet delas upp så att ledaren får hälften av guldmynten plus en extra peng medan rånare två får en tredjedel av resten. Rånare tre får dubbelt så mycket som rånare två. Hur många guldmynt måste det minst ha varit i påsen?

Pythagoras Quest, distriksfinal 2011, del 1 problem 4

19. Om det fyrsiffriga talet abcdabcd vet vi följande.

Vilket är talet abcdabcd?

20. Vilket är det minsta tal som är delbart med 99 och som inte har några udda siffror?

Pythagoras Quest distriktsfinal, del 2 problem 4

21. Betrakta följande talföljd

Rad 1: 1,11, 1

Rad 2: 8,8,8,88, 8, 8, 8

Rad 3: 27,27,27,27,27,27,27,2727, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27

Rad 4: 64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,6464, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64, 64

Vad blir kvoten av summan av rad 8 och summan av rad 4?

Pythagoras Quest, riksfinal 2014, del 2 problem 2

21. xx, yy och zz är positiva heltal som uppfyller ekvationssystemet nedan.

5x+10=3y6z+y=14x+75x+10=3y \\ 6z+y=14x+7

Vilket är det minsta tal som yy kan vara?

Lösningar

1. Produkten 77 kan fås genom antingen genom multiplikation av 11 och 77 eller av 1-1 och 7-7. Genom att lösa ut aa och bb i samtliga fall få vi lösningarna

(a,b)=(2,5),(8,1),(0,9),(6,3)\mathbf{(a, b) = (2, 5), (8, -1), (0, -9), (-6, -3)}

2. Serien består av de åtta talen 1,3,5,7,9,11,131, 3, 5, 7, 9, 11, 13 och 1515 som upprepar sig i all oändlighet. Om vi hoppar fram eller backar åtta steg kommer vi att hamna på samma tal igen. Vi kan alltså tänka oss att vi redan befinner oss på det 12751275:e talet och ska hoppa tillbaka till starten åtta steg i taget. Detta är detsamma som att vi delar 1275127588. Beräknar vi den kvoten ser vi att 88 går jämnt upp 159159 gånger i 12751275 och lämnar sedan en rest på 33. Hoppar vi tillbaka 159159 gånger på linjen med åtta steg i taget hamnar vi alltså på det tredje talet i serien 1,3,5,7,9,11,13,151, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 vilket är 5\mathbf{5}.

3. Låt xx vara antalet lärjungar. Det följer då att x2\frac{x}{2} lärjungar studerar matematik, x4\frac{x}{4} lärjungar studerar fysik och x7\frac{x}{7} lärjungar lär sig tiga. Dessa tre ämnen sysselsätter x2+x4+x7=25x28\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{7}=\frac{25x}{28} av lärjungarna. De sista 3x28\frac{3x}{28} av lärjungarna måste vara de tre gossarna som precis har börjat hos Pythagoras. Detta innebär att

3=3x28 3=\frac{3x}{28} \
x=28x=28

Pythagoras har alltså 28\mathbf{28} lärjungar.

4. För att 12A3B12A3B ska vara delbart på 44 gäller det att 3B3B är delbart på 44. Detta innebär att B=2B=2 eller B=6B=6. För att vara delbart på 99 krävs det att talets siffersumman 1+2+A+3+B1+2+A+3+B är delbar på 99. Om B=6B=6 följer det att A=6A=6 men det går emot instruktionen om att ABA \neq B. Det enda möjliga alternativet är alltså att B=2B=2 vilket innebär att A=1\mathbf{A=1}.

5. Låt oss säga att Petter fick xx antal enkronor och yy antal femkronor. Han fick då 10x10x antal tvåkronor. Det följer då att

x+210x+5y=200x+2 \cdot 10x+5y=200
21x+5y=20021x+5y=200

Eftersom att termerna 5y5y och 200200 båda är delbara med 55 måste xx också vara det. Det är endast möjligt att x=5x=5 eftersom att alla andra 5-multiplar gör att vänsterledet i ekvationen blir för stort. Detta ger oss

215+5y=20021\cdot5+5y=200
5y=955y = 95
y=19y=19

Petter fick alltså 19\mathbf{19} stycken femkronor.

6. För att ett tal ska vara delbart på 7272 måste det vara delbart på 88 och 99. Enligt vår delbarhetsregel måste det tresiffriga talet 79b79b vara delbart på 88. Eftersom att 800800 är delbart på 88 är 8008=792800-8=792 delbart med 88 med. Det följer därmed att b=2b=2 är den enda lösningen. För att a6792a6792 även ska vara delbart med 99 krävs det att siffersumman a+6+7+9+2=a+24a+6+7+9+2= a+24 är delbar med 99, vilket endast är möjligt om a=3a=3. Alltså är a+b=3+2=5a+b=3+2=\mathbf{5}.

7. Låt de tre talen vara aa, bb och cc där aa är minst och cc är störst. Det gäller alltså att.

ab=72=2332ac=96=253bc=108=2233ab=72=2^3\cdot3^2 \\ ac=96=2^5\cdot3 \\ bc=108=2^2\cdot3^3

Om vi multiplicerar abab och acac får vi att a2bc =(2332)(253)=2833a^2bc \ = (2^3\cdot3^2)\cdot(2^5\cdot3) = 2^8\cdot3^3. Delar vi nu med bcbc får vi att a2=26a^2=2^6 vilket innebär att a=23=8a=2^3=8. Vi kan nu enkelt lösa ut de andra variablerna och det följer att b=9b=9 och c=12c=12. Summan av de tre talen är således 8+9+12=298+9+12=\mathbf{29}.

8. För att ababaababa ska vara delbart med 33 behöver siffersumman a+b+a+b+a=3a+2ba+b+a+b+a=3a+2b vara delbar med 33. Eftersom att 3a3a är delbart med 33 följer det att bb också måste vara det. Detta innebär att b=0,3,6b = 0, 3, 6 eller 99. (Glöm inte att 00 är delbart med alla tal). Vi vet också att babababbababab är delbart med 1818. Från detta följer det att bb måste vara jämnt så bb är antingen 00 eller 66, men eftersom att ett tal inte kan börja med 00 måste bb således vara 66.

För att babababbababab ska vara delbart med 1818 krävs det att dess siffersumma a+6+a+6+a+6=3a+24a+6+a+6+a+6=3a+24 är delbar med 99. Det minsta värdet som 3a+243a+24 kan anta är om a=1a=1, vilket blir 2727, och det största värdet är om a=9a=9, vilket blir 5151. Det finns tre multiplar av 99 mellan talen 2727 och 5151, nämligen 2727, 3636 och 4545. Detta ger oss följande tre fall:

3a+24=27      a=13a+24=36      a=43a+24=45      a=73a+24=27\ \iff \ a = 1 \\ 3a+24=36\ \iff \ a = 4 \\ 3a+24=45\ \iff \ a = 7

Svaret är därmed att b=6\mathbf{b = 6} och att a=1,4,7\mathbf{a = 1, 4, 7}.

9. Ett sådant upprepande sexsiffrigt tal kan skrivas på formen 1000x+x=1001x1000x+x=1001x för vilket tresiffrigt tal xx som helst. Det största heltalet som delar alla sådana tal måste alltså vara 1001\mathbf{1001}. Eftersom xx kan vara vad som helst kan vi inte vara säkra på vilka faktorer det innehåller. 10011001 är därför det största talet som vi kan med 100% säkerhet säga att det delar alla sådana sexsiffriga tal.

10. Det finns tre möjliga fall. Jag kan välja två jämna lappar, två udda lappar eller en jämn och en udda lapp från urnan. Låt oss undersöka varje fall i taget.

(1) Två jämna lappar

Differensen mellan två jämna tal blir jämn. Jag kommer alltså ta bort två jämna tal och lägga till ett jämnt. Summan i urnan kommer att minska med ett jämnt tal.

(2) Två udda lappar

Differensen mellan två udda tal är blir jämn. Jag kommer alltså ta bort två udda tal och lägga till ett jämnt. Summan i urnan kommer att minska med ett jämnt tal.

(3) En udda och en jämn lapp

Differensen mellan ett jämnt och ett udda tal blir udda. Jag kommer alltså ta bort ett jämnt och ett udda tal och lägga till ett udda. Summan i urnan kommer att minska med ett jämnt tal.

Vilka lappar vi än väljer kommer summan i urnan alltid att minska med ett jämnt tal. Urnans paritet förändras därför aldrig. Om summan av alla lappar vid starten var udda kommer den sista lappen också att vara udda. Om summan av alla lappar vid starten istället var jämn kommer den sista lappen också att vara jämn. Svaret på a) är därmed ett udda tal och svaret på b) är ett jämnt tal.

11. Om summan av de tre bråken 1a+1b+1c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} är 2542\frac{25}{42} måste vi kunna förlänga bråken så att de alla har 4242 som gemensam nämnare. Detta är endast möjligt om aa, bb och cc alla är delare till talet 4242. De möjliga tal som aa, bb och cc kan vara är således 1,2,3,6,7,14,211, 2, 3, 6, 7, 14, 21 och 4242. Vi kan säga att varje delare har en “omvänd partner” så att produkten av delaren och dess omvända partnern är 4242. Exempelvis är 33 den omvända partnern till delaren 1414. Låt oss kalla de omvända parterna till aa, bb och cc för AA, BB respektive CC. Vi kommer nu att förlänga bråken så att de alla har nämnaren 4242.

1a+1b+1c=2542\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{25}{42}
A(aA)+B(bB)+C(cC)=2542\frac{A}{(a\cdot A)} + \frac{B}{(b\cdot B)}+ \frac{C}{(c\cdot C)}=\frac{25}{42}
A42+B42+C42=2542\frac{A}{42}+\frac{B}{42}+\frac{C}{42}=\frac{25}{42}
A+B+C=25A+B+C=25

Det gäller alltså att summan av de omvända partnerna till aa, bb och cc är lika med 2525. Men en omvänd partner måste också vara en delare till 4242, så AA, BB och CC kan endast vara något av talen 1,2,3,6,7,14,21,421, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Genom prövning ser vi att 11, 33 och 2121 är den enda möjliga lösningen där summan blir 2525. Det gäller alltså att de ursprungliga talen aa, bb och cc är 4242, 1414 och 22. Vi kan alltså skriva 2542\frac{25}{42} som stambråket 142+114+12\mathbf{\frac{1}{42}+\frac{1}{14}+\frac{1}{2}}.

12. Kommer du ihåg lösningen till Övning 2 där vi visade att ett tal är delbart på numret 2x2^x om och endast om de xx sista siffrorna i talet är delbart på 2x2^x? Anledningen till att den här regeln fungerar är för att vårt talsystem är baserat på talet 1010, och 1010 är delbart på 22 exakt en gång. Men 1010 är också delbart på 55 exakt en gång! Med exakt samma resonemang som vi använde i Övning 2 kan vi visa att ett tal är delbart med 5x5^x om och endast om de xx sista siffrorna i talet är delbart på 5x5^x. För att 3835697716517538356977165175 ska vara delbart på 25(52)25 (5^2) måste alltså numret bestående av talets två sista siffror, 7575, vara delbart på 2525, vilket det är. Talet 3835697716517538356977165175 är alltså delbart på 2525.

13. Låt mm vara det största talet som delar N=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)N=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9) för alla heltal nn. Vi ser att mm inte kan vara delbart med 22 eftersom då nn är ett jämnt tal är NN udda, då n=2n=2. Vi ska nu undersöka vilka udda tal som kan dela mm. Eftersom vi har produkten av fem tal med skillnaden 22 mellan på varandra följande faktorer måste NN vara delbart med 33 och 55. Detta ser man genom att testa de olika fallen för resten av nn vid division med 33 respektive 55. Alltså måste m35=15m\geq3\cdot5=15. Vi noterar vidare att mm inte kan vara delbar med något primtal p>5p > 5. Väljer vi n=p+1n=p+1 är NN inte delbart med pp. Talet mm kan alltså bara bestå av 3:or och 5:or. Om mm innehåller mer än en 3:a eller mer än en 5:a innebär det att mm är delbart med 99 respektive 2525. Men om vi väljer n=1n=1 blir produkten N=246810N=2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10, vilket varken är delbart med 99 eller 2525. Alltså kan mm inte innehålla mer än en 3:a och en 5:a och således är m=15m=\mathbf{15} det största heltal som delar NN.

14. Låt det finns xx antal marker i påsen. Lägg märke till att det fattas två marker för att varje av uppdelning av marker ska gå jämnt ut. Detta innebär att x+2x+2 måste vara jämnt delbart med 44, 55 och 77. Det minsta tal x+2x+2 som uppfyller dessa krav är 457=1404\cdot5\cdot7=140 och det följer därmed att det minsta möjliga antal marker i påsen är 1402=138140-2=\mathbf{138}.

15. Skriver vi om bråken till en gemensam nämnare kan vi se att ön består till 820\frac{8}{20} av skog och 520\frac{5}{20} av sanddyner. Den resterande delen, 720\frac{7}{20}, måste således vara åkerland. Låt öns area vara xx. Det följer då att x720=140x\cdot \frac{7}{20}=140 och därmed att x=400x=\mathbf{400} ha.

16. Talet 20162016 kan primtalsfaktoriseras till 253272^5\cdot3^2\cdot7. Alla termer av samma typ måste vara i antingen pp eller qq eftersom pp och qq inte får ha några gemensamma faktorer. Vi kan exempelvis inte ha ha tre av 2:orna i pp och de resterande två 2:orna i qq eftersom pp och qq då skulle ha gemensamma delare. Det finns alltså två val att välja mellan om var vi ska placera 2:orna, 3:orna och 7:an – antingen i pp eller i qq. Eftersom att det finns två val för vardera av de tre faktorerna finns det 222=82\cdot2\cdot2 = \mathbf{8} vackra bråk.

17. Bråket kan skrivas om till

1310000+13100+132710000+27100+27\frac{13\cdot10 000+13\cdot100+13}{27\cdot10 000+27\cdot100+27}
13(10000+100+1)27(10000+100+1)\frac{13(10000+100+1)}{27(10000+100+1)}
13101012710101\frac{13\cdot10101}{27\cdot10101}

vilket kan förkortas till 1327\mathbf{\frac{13}{27}}.

18. Låt oss säga att rånare två fick xx antal guldmynt. Rånare tre fick då 2x2x guldmynt och tillsammans har de 3x3x guldmynt. Ledaren fick hälften av det ursprungliga bytet och sedan en extra guldpeng till. Om vi går baklänges och adderar 11 till 3x3x och sedan multiplicerar summan med 22 kommer vi att få ett uttryck för det totala antalet guldmynt. Det sammanlagda bytet kan alltså skrivas som 2(3x+1)=6x+22(3x+1)=6x+2. Det minsta möjliga antal guldmynt inträffar om x=1x=1. Det måste alltså ha varit som minst 61+2=86\cdot1+2=\mathbf{8} guldmynt i påsen.

19. Båda summorna a+b+c+da+b+c+d och a+ba+b är jämnt delbara med 33. Detta innebär att summan c+dc+d, och därmed även talet cdcd, är delbart med 33. Då abcdabcd är delbart med 1818 följer det även att cdcd är delbart med 22. Vi vet redan att cdcd är delbart med 77cdcd måste vara en multipel av 2/cdot37=422/cdot3\cdot7=42. De möjliga kandidaterna för cdcd är alltså 4242 eller 8484. Talet bcbc ska vara delbart på 1313 och dessutom sluta på siffran 44 eller 88. Det enda tal som uppfyller dessa krav är 7878 så det innebär att b=7b=7, c=8c=8 och d=4d=4. För att abcdabcd ska vara delbart med 1818 krävs det att a+b+c+da+b+c+d är delbart med 99. Detta är endast möjligt om a=8a=8. Talet abcdabcd är alltså 8784\mathbf{8784}. Prövning visar att detta tal uppfyller alla kriterier.

20.

Lösning 1

För att ett tal ska vara delbart med 99 och endast ha jämna siffror måste dess slutsiffra också vara jämn. Det innebär således att talet måste vara delbart med 22, så vi behöver därmed endast undersöka de tal som är delbara med 1818. Lägg också märke till hur stort talet 1818 är. Om vi adderar 1818 till ett jämnt tal kommer det alltid att öka talets tiotalssiffran tal med 22 “steg”, så länge slutsiffran i talet inte var 00. (Till exempel blir 36+18=5436+18=54 där tiotalssiffran ökade från 33 till 55). Då tiotalssiffran i talet 1818 börjar med en udda siffra (11) kommer tiotalssiffran att fortsätta vara udda ända tills att slutsiffran i en av multiplarna blir 00. Först då kommer tiotalssiffran endast öka ett steg och bli jämn. För att ett tal delbart med 1818 endast ska bestå av jämna siffror måste det komma precis efter en annan multipel av 1818 som slutade på siffran 00. För att en multipel av 1818 ska sluta på 00 måste det vara delbart med 55. De enda tal vi behöver undersöka är alltså de multiplar av 1818 som kommer precis efter tal delbara med 518=905\cdot18=90. Detta ger oss följande kandidater:

90+18=108180+18=196270+18=28890+18=108 \\ 180+18=196 \\ 270+18=288

Alltså är 288\mathbf{288} det minsta tal delbart med 99 som inte har några udda siffror.

Lösning 2

För att ett tal ska vara delbart med 99 och endast ha jämna siffror måste dess slutsiffra också vara jämn. Det innebär således att talet måste vara delbart med 22, så vi behöver därmed endast undersöka de tal som är delbara med 1818. Vi börjar med att undersöka de multiplar av 1818 som är mindre än 100100, men ingen av dessa (18,36,54,7218, 36, 54, 72) består endast av jämna siffror. Vi behöver inte undersöka talen mellan 100100 och 199199 eftersom att alla dessa börjar med den udda siffran 11. Det första talet större än 199199 som är delbart med 1818 är 216216. Fortsätter vi att räkna fram multiplar till talet 1818 får vi 216,234,252,270,288216, 234, 252, 270, 288. Alltså är 288\mathbf{288} det minsta tal delbart med 99 som inte har några udda siffror.

21. Vi lägger märke till att

1=138=2327=3364=431=1^3 \\ 8=2^3 \\ 27=3^3 \\ 64=4^3

Termen i varje rad är alltså radnumret i kubik. Antalet termer blir också dubbelt så många för varje rad. Rad 8 kommer därmed innehålla 282^8 antal av termen 838^3. Summan av dessa termer blir därmed 28832^8\cdot8^3. På samma sätt kan summan av termerna i rad 4 uttryckas som 24432^4\cdot4^3. Kvoten av dessa summor blir då följande:

28  8324  43\frac{2^8\ \cdot\ 8^3}{2^4\ \cdot\ 4^3}
28  (23)324  (22)3\frac{2^8\ \cdot\ (2^3)^3}{2^4\ \cdot\ (2^2)^3}
28  2924 26\frac{2^8\ \cdot\ 2^9}{2^4\cdot\ 2^6}
217210\frac{2^{17}}{2^{10}}

Svaret är därmed 27=1282^7=\mathbf{128}.

22. Kollar vi noga på ekvationen ser vi att vi kan skriva om leden till följande:

5(x+2)=3y6z+y=7(x+2)5(x + 2)=3y \\ 6z+y=7(x+2)

Eftersom att vänsterledet i första ekvationen är delbart med 55 måste yy också vara det. På samma sätt kan vi se att faktorn (x+2)(x+2) måste vara delbar med 33. Eftersom att (x+2)(x+2) är delbar med 33 följer det att vänsterledet i andra ekvationen måste vara det med. Termen 6z6z är dock redan delbar med 33, så det innebär att även yy måste vara delbart med 33. Vi har nu kommit fram till att yy är delbart med både 33 och 55, och således måste det vara delbart med 1515. Om vi provar vi att låta y=15y=15 kommer vi fram till att x=7x=7 och z=8z=8. Båda ekvationer håller och således är 15\mathbf{15} det minsta tal som yy kan vara.


📝Lektion 5: Slutsiffror

📝Lektion 3: Geometri - fortsättning