📝

Lektion 11: Antalet delare till heltal

📝Lektion 12: Sannolikhet

📝Lektion 10: Kombinatorik


Lektionsöversikt


Ordlista


Vi har tidigare gått igenom hur vi kan bryta ned ett tal i primtalsfaktorer. Genom att sedan kombinera dessa faktorer på olika sätt har vi kunnat hitta alla delare till det talet talet. Talet 1212 kan exempelvis primtalsfaktoriseras till 2232^2\cdot3. Några olika sätt vi kan kombinera dessa faktorer på är genom att välja båda 22:or, att välja en 22:a och en 33:a, att välja alla tre faktorer eller att inte välja någon av faktorerna alls. Dessa fyra kombinationer ger oss delarna 22=4, 23=6, 223=122\cdot2=4, \ 2\cdot3=6, \ 2\cdot2\cdot3=12 och 11. (Talet 11 är avsaknaden av primtalsfaktorer). Ibland kan det vara användbart att snabbt räkna ut hur många delare ett heltal har, och som det visar sig finns det en enkel formel för det som vi kommer att gå igenom i det här avsnittet. Många problem kräver också vetskapen om vilka tal som har ett udda antal positiva delare, vilket vi också kommer att ta upp.

11.1 Primtalsfaktorisering och antalet delare

I den här lektionen kommer vi att presentera väldigt lite av det som vi hoppas att du kommer att lära dig. Istället kommer du själv att få komma fram till de viktiga lärdomarna genom att lösa uppgifter och fundera på egen hand!


Övning 1

Undersök antalet positiva delare till varje tal från 11 till 2020.


Övning 2

Hur många positiva delare har:

a) ett primtal pp?

b) En produkt pqpq av två olika primtal pp och qq?

c) En potens av ett primtal, det vill säga ett tal på formen pgp^g där pp är ett primtal och gg ett positivt heltal?

d) En produkt pmqnp^mq^n av två primtalspotenser pmp^m och qnq^n, där pp och qq är två olika primtal och mm, nn är positiva heltal?


Övning 3

Primtalsfaktorisera alla talen från 11 till 2020 och skriv ut exponenten till varje primtal (till exempel blir 12=223112=2^2\cdot3^1 och 19=19119=19^1). Jämför primtalens exponenter i faktoriseringen av talet med antalet delare som talet har. Kan du se något mönster?


Generellt sett kan vi skriva ett positivt heltal nn som en produkt av olika primtalspotenser, det vill säga på formen n=p1g1p2g2...pkgk,n=p_1^{g_1}\cdot p_2^{g_2}\cdot...\cdot p_k^{g_k}, där talen pip_i är olika primtal och gig_i är exponenten av primtalet pip_i i faktoriseringen (1ik)(1\leq i \leq k). Till exempel kan vi skriva talet 6060 som produkten 22352^2\cdot3\cdot5 där 22, 33 och 55 är primtal och 22, 11 och 11 är deras respektive exponenter i faktoriseringen. Lägg märke till att exponenterna gig_i också kan vara 00. Det innebär isåfall att talet nn inte innehåller den primtalsfaktorn alls.

Talet nn har en delare för varje unik kombination av primtalsfaktorer som vi kan välja från nn:s primtalsfaktorisering. Detta innebär att nn har lika många delare som det finns sätt att kombinera dess primtalsfaktorer på. Låt oss ta 72=233272=2^3\cdot3^2 som exempel. Vill vi skapa en kombination av dess primtalsfaktorer kan vi välja att den kombinationen ska bestå av antingen 0,1,20, 1, 2 eller 33 stycken 22:or och antingen 0,10, 1 eller 22 stycken 33:or. Det finns alltså fyra alternativ för antalet 22:or och tre alternativ för antalet 33:or. Talet 7272 har därmed 43=124\cdot3=12 olika delare.

Vi kan expandera det här resonemanget för alla heltal nn. Varje primtalsfaktor pigi{p_i}^{g_i} kan väljas på exakt gi+1{g_i}+1 olika sätt, eftersom gi+1{g_i}+1 är lika med något av talen 0,1,2,gi0, 1, 2, \ldots {g_i}. Det följer därmed att antalet delare till nn är lika med produkten

(g1+1)(g2+2) ... (gk1+1)(gk+1)\mathbf{(g_1+1) \cdot (g_2+2) \ ...\ (g_{k-1}+1)\cdot(g_k+1)}

Notera att vi måste känna till primtalsfaktoriseringen av ett tal för att kunna bestämma antalet positiva delare till talet.


Övning 4

Kolla nu återigen på din lista av antalet positiva delare till talen 1201-20. Ser du ett samband mellan talen som har ett udda antal positiva delare?


Problem att lösa för Lektion 11

1. Antag att de positiva heltalen aa och bb har 9999 respektive 101101 olika positiva delare (11 och talet självt inräknade). Kan produkten abab ha 150150 olika positiva delare?

Skolornas Matematiktävling, final 2006, problem 1

2. Visa att endast kvadrater har udda antal delare genom att undersöka heltalspar på formen (d,nd)(d, \frac{n}{d}).

3. Ylva har ett bräde med 20202020 marker numrerade från 11 till 20202020. Markerna är vita på ena sidan och svarta på den andra sidan. Alla marker ligger från början med den vita sidan uppåt. Ylva gör nu följande:

Ylva fortsätter på detta sätt ända tills hon slutligen vänder på alla marker som är jämnt delbara med 20202020. Hur många marker har fortfarande den vita sidan uppåt när hon är klar?

Lösningar

1. Svaret är nej. Då både aa och bb har ett udda antal positiva delare betyder det att de båda måste vare kvadrater, vilket gör att deras produkt också är en kvadrat. Alltså måste även produkten abab ha ett udda antal delare. Därför kan antalet positiva delare till abab inte vara 150150, då det talet är jämnt.

2. Om dd är en delare till nn är även nd\frac{n}{d} en delare, då vi kan skriva n=d(nd)n=d\cdot(\frac{n}{d}) där nd\frac{n}{d} är ett heltal. Dessa är alltid två olika tal såvida inte nd=d\frac{n}{d}=d, vilket kan skrivas om till n=d2n=d^2. Om nn inte är en kvadrat betyder det att man kan dela upp delarna till nn i par (d,nd)(d,\frac{n}{d}), vilket betyder att delarna är jämna till antalet. Om nn är en kvadrat är talen i alla sådana par skilda förutom i paret (n,n)(\sqrt{n},\sqrt{n}). Vi vill endast räkna med n\sqrt{n} en gång bland delarna, vilket gör att antalet delare blir udda.

3. När Ylva är klar kommer hon att ha vänt varje mark lika många gånger som antalet delare som markens nummer har. Mark nummer 66 kommer exempelvis ha vänts fyra gånger eftersom talet har de fyra delarna 1,2,3,61,2,3,6. För att en mark i slutändan ska ha den svarta sidan uppåt måste marken ha vänts ett udda antal gånger, dvs marken måste ha ett nummer som har ett udda antal delare. Vi vet dock att de enda talen med ett udda antal delare är kvadrattalen! Eftersom att 442=193644^2=1936 och 452=2025>202045^2=2025 > 2020 måste exakt 4444 av markerna på brädet vara numrerade med ett kvadrattal. Dessa 4444 marker är de enda som kommer ha den svarta sidan uppåt, så antalet marker som fortfarande har den vita sidan uppåt är 202044=19762020-44=\mathbf{1976}.


📝Lektion 12: Sannolikhet

📝Lektion 10: Kombinatorik